III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Rozwiązanie 1

Kąt ostry między przekątnymi prostokąta tworzy wraz z połowami przekątnych i krótszym bokiem prostokąta trójkąt równoramienny o kącie 60° przeciwległym do podstawy (boku prostokąta). Dodatkowo jest to zatem trójkąt równoboczny, bo kąty przy podstawie wynoszą: α=21​⋅(180−60)=21​⋅120=60 ° Długość przekątnej jest zatem równa dwukrotności krótszego boku prostokąta.. Przekątna z bokami prostokąta tworzy trójkąt prostokątny.  Wszystkie własności są zachowane, jeżeli w miejsce tego prostokąta podstawimy prostokąt podobny w skali k=¹/₃. Dłuższy bok prostokąta wynosi wtedy ¹/₃ ∙ 72=24 cm. Wprowadźmy oznaczenia: x - krótszy bok przeskalowanego prostokąta 2x - przekątna przeskalowanego prostokąta Z tw. Pitagorasa: x2+242=(2x)2

Powierzchnia mniejszej kuchni - 9 m2    Bok kwadratu mniejszej kuchni - 9<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=3 m

Skala 1:1000 dotyczy jednego wymiaru.

Oznaczenia: 3x - powierzchnia większego mieszkania x - powierzchnia mniejszego mieszkania   Z warunków zadania: 3x−x=54m2

jedna z przyprostokątnych - 10 cm druga z przyprostokątnych - x przeciwprostokątna - x + 4   Z tw. Pitagorasa: 102+x2=(x+4)2 100+x2=x2+8x+16

x - długosˊcˊ podstawy y - długosˊcˊ ramienia   Z warunkoˊw zadania mamy:

Wysokość wraz z połową podstawy i ramieniem tworzy trójkąt prostokątny o kątach 60° i 30°. Kąt przy wysokości wynosi 60°, bo jest połową kąta między ramionami trójkąta. Kąt przy podstawie wynosi 30°.   Mamy zatem: 6 cm - przyprostokątna troˊjkąta prostokątnego przy podstawie

x - długość podstawy 1,3 x - długość ramienia   Z warunków zadania: x+2⋅1,3x=36 3,6x=36 x=3,636​=10 cm

2x - długosˊcˊ jednej z przyprostokątnych 2x+2 - długosˊcˊ drugiej z przyprostokątnych 2x+4 - długosˊcˊ przeciwprostokątnej

1,4x - długość ramienia x - długość podstawy   Z warunków zadania: 2⋅1,4x+x=57 3,8x=57 x=3,857​=15

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23403/ZcBl2Xdr4TYJK8fGEYLbWA%3D%3D_1b281bfc75e68421693214c9e7ed7f0c4b12a8a2b2dea0b4a444f3613e5bc35c.png" width="150" height="200"> Załóżmy, że kąt ∠CBA = 60°. Wtedy kąt ∠BAC = ∠DAC=30°. Mamy także ∠DCB = 30° oraz ∠ACD = 60°. Mamy więc trzy trójkąty prostokątne (ABC, DCB i DAC) o kątach 30° i 60°. Długości odcinków są równe: ∣CD∣=6 cm ∣DB∣=633<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ cm

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23404/sdcCoP9yDQt0IHGfkAT05g%3D%3D_a6fdc25f5fd8e716e3f2baeef9483483b3323f9dd8d72a6261618baf5fb7ccdd.png" width="150" height="200"> Trójkąt ABC dzieli się na dwa trójkąty prostokątne - jeden o kątach ostrych 60° i 30°, a drugi o kątach ostrych 45° i 45°. Poprowadźmy z wierzchołka C wysokość do punktu D między odcinkiem AB. Wówczas długości odcinków są równe: ∣AC∣=43<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm ∣AD∣=23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​cm ∣CD∣=6cm

Najwygodniejszy sposób nauki z edukacyjnym Odrabiamy AI

19