Przyjmijmy oznaczenie:

$x$ - jedna z liczb

$y$ - druga z liczb

Z treści zadania wiemy, że suma tych liczb wynosi $10,$ zatem możemy zapisać równość:

$x+y=10|-x$

$y=10-x$

Chcemy znaleźć takie liczby $x$ i $y,$ dla których wartość wyrażenia $3x^2+y^2$ jest możliwie najmniejsza. Przedstawmy to wyrażenie w prostszej postaci.

$3x^2+y^2=3x^2+{\left(10-x\right)}^2=$

$=3x^2+100-20x+x^2=$

$=4x^2-20x+100$

Wyznaczamy następnie argument, dla którego osiągana jest najmniejsza wartość funkcji $f$ określonej wzorem

$f\left(x\right)=4x^2-20x+100$

Współczynnik przy $x^2$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią, zatem ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w górę. Wobec tego najmniejsza wartość funkcji $f$ jest osiągana w jej wierzchołku. Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-20\right)}{2\cdot 4}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$

Wnioskujemy, że liczbą $x,$ dla której wartość badanego wyrażenia jest możliwie najmniejsza jest $x=\frac{5}{2}.$ Wyznaczamy wartość liczby $y.$

$y=10-x=10-\frac{5}{2}=\frac{20}{2}-\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$

Odp. Szukane liczby to $\frac{5}{2}$ oraz $\frac{15}{2}.$