Przyjmujemy, że wymiary prostopadłościanu z treści zadania są wyrażone w centymetrach.

Dany jest prostopadłościan, którego wysokość jest równa $3.$ Oznaczamy długości boków podstawy tego prostopadłościanu przez $x$ i $y.$ Omawiany prostopadłościan przedstawiono na poniższym rysunku.

Zgodnie z treścią zadania, obwód podstawy tego prostopadłościanu jest równy $16.$ Zatem spełnione jest równanie:

$2x+2y=16|:2$

$x+y=8$

$y=8-x$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. 

$P_c=2\left(ab+bc+ac\right)$

Długości krawędzi prostopadłościanu to: $3,x,8-x.$Zapisujemy pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu za pomocą funkcji $P$ określonej wzorem:

$P\left(x\right)=2\left(3x+x\left(8-x\right)+3\left(8-x\right)\right)$

$P\left(x\right)=2\left(3x+8x-x^2+24-3x\right)$

$P\left(x\right)=2\left(-x^2+8x+24\right)$

$P\left(x\right)=-2x^2+16x+48$

Liczby $x$ i $y$ stanowią długości pewnych odcinków, więc muszą przyjmować wartości dodatnie. Spełnione są nierówności $x>0$ oraz $8-x>0.$ Wnioskujemy, że dziedziną funkcji $P$ jest przedział $\left(0,8\right).$

Wyznaczamy argument $x,$ dla którego pole powierzchni prostopadłościanu jest możliwie największe. Należy wyznaczyć największą wartość funkcji $P$ osiąganą w przedziale $\left(0,8\right).$ Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-16}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-16}{-4}=4$

Zauważmy, że $4\in \left(0,8\right)$ oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem największa wartość funkcji $P$ jest osiągana dla $x=4.$ Wyznaczamy wartość liczby $y.$

$y=8-x=8-4=4$

czyli mamy

$y=4$

Obliczamy objętość tego prostopadłościanu. 

$V=a\cdot b\cdot c$

$V=3\cdot 4\cdot 4=48{[cm}^3]$

Odp. Wymiary podstawy prostopadłościanu o największym możliwym polu powierzchni całkowitej to $4\text{cm}\times 4\text{cm}.$ Objętość tego prostopadłościanu jest równa $48{\text{cm}}^3.$