Przyjmijmy, że długości boków tego prostokąta to $x$ i $y.$ Prostokąt przedstawiono na poniższym rysunku. Ponadto została zaznaczona przekątna o długości $z.$

 

Obwód prostokąta jest równy $8,$ zatem spełnione jest równanie

$2x+2y=8|:2$

$x+y=4$

$y=4-x$

Wyznaczamy długość przekątnej prostokąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$z^2=x^2+y^2$

$z^2=x^2+{\left(4-x\right)}^2$

$z^2=x^2+16-8x+x^2$

$z^2=2x^2-8x+16$

$z=\sqrt{2x^2-8x+16}$

Wyrażenie $\sqrt{2x^2-8x+16}$ przyjmuje najmniejszą możliwą wartość wtedy, gdy wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem przyjmuje najmniejszą możliwą wartość. W celu wyznaczenia długości boku $x,$ dla którego przekątna $z$ jest możliwie najkrótsza, wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji $f\left(x\right)=2x^2-8x+16.$ Wyznaczamy najpierw dziedzinę funkcji $f.$ Z nierówności $x>0$ oraz $4-x>0$ wynika, że $x\in \left(0;4\right).$ Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f.$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot 2}=\frac{4}{2}=2$

Zauważmy, że $2\in \left(0;4\right)$ oraz ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane w górę. Wnioskujemy, że najmniejsza wartość funkcji $f$ jest osiągana dla $x=2.$ Wynika stąd, że przekątna prostokąta jest możliwie najkrótsza, gdy bok $x$ ma długość $2.$

Wyznaczamy długość boku $y.$

$y=4-x=4-2=2$

Odp. Prostokąt powinien mieć wymiary $2\times 2.$