Dany jest układ równań $\{\begin{array}{l}kx+y=k^2\\ 16x+ky=64\end{array}$ z niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $k\in \mathbb{R}$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{k}$, dla których podany układ równań jest oznaczony, 
a para liczb będących rozwiązaniem tego układu spełnia warunek $\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right|\ge 4$.

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\{\begin{array}{l}kx+y=k^2\\ 16x+ky=64\end{array}$ $\{\begin{array}{l}y=k^2-kx\\ 16x+ky=64\end{array}$ $16x+k\left(k^2-kx\right)=64$ $16x+k^3-k^{2}x-64=0$ $16x-k^{2}x+k^3-64=0$ $x\left(16-k^2\right)=64-k^3$ $x=\frac{64-k^3}{16-k^2}$              $k\in \mathbb{R}\setminus \left\{-4,4\right\}$

$x=\frac{64-k^3}{16-k^2}=\frac{\left(4-k\right)\left(16+4k+k^2\right)}{\left(4-k\right)\left(4+k\right)}=$    $=\frac{16+4k+k^2}{4+k}$ $y=k^2-k\cdot \frac{16+4k+k^2}{4+k}=$    $=\frac{k^2\left(4+k\right)}{4+k}-\frac{16k+4k^2+k^3}{4+k}=$    $=\frac{4k^2+k^3-16k-4k^2-k^3}{4+k}=\frac{-16k}{4+k}$