j- Zadanie 5: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność:

$x^{2} + 5 y^{2} - 4 xy + 8 y + 16 \geq 0$

Rozwiązanie

Założenia: $x, y \in R$

Teza: $x^{2} + 5 y^{2} - 4 x y + 8 y + 16 \geq 0$

Dowód

Przekształcamy równoważnie tezę:

$x^{2} + 5 y^{2} - 4 x y + 8 y + 16 \geq 0$
$x^{2} - 2 \cdot 2 x y + 5 y^{2} + 2 \cdot 4 y + 16 \geq 0$
$x^{2} - 2 \cdot 2 x y + 4 y^{2} + y^{2} + 2 \cdot 4 y + 16 \geq 0$
$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 y + (2 y)^{2} + y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2} \geq 0$
$(x - 2 y)^{2} + (y + 4)^{2} \geq 0$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest
nieujemny, więc $(x - 2 y)^{2} \geq 0$ i $(y + 4)^{2} \geq 0$ .
Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, zatem potwierdzamy nierówność
z tezy, czyli $x^{2} + 5 y^{2} - 4 x y + 8 y + 16 \geq 0$ . $■$