Przykład 1. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby
rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność $a\left(a-4b\right)\ge -4b\left(2a+b\right)$.

Rozwiązanie

Założenia: $a,b\in \mathbb{R}$ 

Teza: $a\left(a-4b\right)\ge -4b\left(2a+b\right)$

Dowód:

Przekształcamy równoważnie tezę:
$a\left(a-4b\right)\ge -4b\left(2a+b\right)$
$a^2-4ab\ge -8ab-4b^2$
$a^2-4ab+8ab+4b^2\ge 0$
$a^2+4ab+4b^2\ge 0$
$a^2+2\cdot a\cdot 2b+{\left(2b\right)}^2\ge 0$
${\left(a+2b\right)}^2\ge 0$

Otrzymana nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej
jest nieujemny, zatem nierówność z tezy też jest prawdziwa.                                             $■$