Przykład 2. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ takich, że $a>b$, prawdziwa
jest nierówność $a^3+a^{2}b-b^{2}a-b^3\ge 0$.
Rozwiązanie

Założenia: $a,b\in \mathbb{R}$, $a>b$

Teza: $a^3+a^{2}b-b^{2}a-b^3\ge 0$

Dowód:

Przekształcamy równoważnie tezę:
$a^3+a^{2}b-b^{2}a-b^3\ge 0$
$a^2\left(a+b\right)-b^2\left(a+b\right)\ge 0$
$\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge 0$
$\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)\ge 0$
${\left(a+b\right)}^2\left(a-b\right)\ge 0$

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ${\left(a+b\right)}^2\ge 0$. Dodatkowo z założeń
wiemy, że $a>b$, więc $a-b>0$. Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest liczbą nieujemną,
zatem potwierdzamy nierówność z tezy.                                                                                     $■$