Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{m}$, dla których równanie
                                          $\frac{\left(\mathbf{m}-1\right){\mathbf{x}}^2+\left(\mathbf{m}-2\right)\mathbf{x}-\mathbf{m}-1}{\left(\mathbf{x}-1\right)\left(\mathbf{x}+2\right)}=0$
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Dziedzina:  $x-1\ne 0\wedge x+2\ne 0$
                     $x\ne 1x\ne -2$
                     $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,1\right\}$

$(1)m-1\ne 0\to m\ne 1$ $(2)\Delta >0$         ${\left(m-2\right)}^2-4\cdot \left(m-1\right)\cdot \left(-m-1\right)>0$         $m^2-4m+4+4\left(m-1\right)\left(m+1\right)>0$         $m^2-4m+4+4\left(m^2-1\right)>0$         $m^2-4m+4+4m^2-4>0$         $5m^2-4m>0$         $m\left(5m-4\right)>0$

$m=0\vee m=\frac{4}{5}$     $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{4}{5},\infty \right)$