Dla $m=1$:

$1\cdot x^3-x^2+\left(1^2+3\right)x-12=0$

$x^3-x^2+4x-12=0$

$\left(x-2\right)\underset{\downarrow }{\left(x^2+x+6\right)}=0$
             $\Delta =1-4\cdot 6<0$
              brak rozwiązań

$m=1$ spełnia warunki zadania

Dla $m=-5$:

$-5\cdot x^3-x^2+\left({\left(-5\right)}^2+3\right)x-12=0$

$-5x^3-x^2+28x-12=0$

$\left(x-2\right)\underset{\downarrow }{\left(-5x^2-11x+6\right)}=0$
                     $\Delta =121-4\cdot \left(-5\right)\cdot 6>0$
                       dwa różne rozwiązania

$m=-5$ nie spełnia warunków zadania