Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{p}$, dla których równanie

${\mathbf{x}}^3-\left(\mathbf{p}+2\right){\mathbf{x}}^2-6\mathbf{x}=0$

ma trzy rozwiązania, z których jedno jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

 $x\left(x^2-\left(p+2\right)x-6\right)=0$
$x=0\vee \underset{f(x)}{\underbrace{x^2-\left(p+2\right)x-6}}=0$

$\Delta >0$
$\Delta ={\left(p+2\right)}^2-4\cdot \left(-6\right)=p^2+4p+4+24=p^2+4p+20$
$p^2+4p+20>0$
${\Delta }_p=16-4\cdot 20<0$

 

 

 

          $p\in \mathbb{R}$