Dla jakich wartości parametru $\mathbf{k}$ równanie

${\mathbf{x}}^3-\mathbf{kx}+\mathbf{k}-1=0$

ma trzy rozwiązania? Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Liczba $1$ jest rozwiązaniem tego równania:
$1^3-k\cdot 1+k-1=1-k+k-1=0$

$\left(x^3-1\right)+\left(-kx+k\right)=0$
$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-k\left(x-1\right)=0$
$\underset{\downarrow }{\left(x-1\right)}\underset{\downarrow }{\left(x^2+x+1-k\right)}=0$
  $1\text{rozw.}2\text{rozw.}$

Niech $f(x)=x^2+x+1-k$. Aby równanie ${\mathbf{x}}^3-\mathbf{kx}+\mathbf{k}-1=0$ miało trzy rozwiązania, równanie $f(x)=0$ musi mieć dwa rozwiązania różne od $1$.

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ f(1)\ne 0\end{array}$