$x^2-\left(m-4\right)x+m^2-7m+12=0$
$\left(1\right)\Delta >0\to m\in \left(\frac{8}{3},4\right)$
$\left(2\right)x_1^3+x_2^3<5x_1^2\cdot x_2+5x_1\cdot x_2^2$
        $x_1^3+x_2^3-5x_1^2\cdot x_2-5x_1\cdot x_2^2<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)-5x_1^2{x}_2-5x_1{x}_2^2<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)-5x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2-5x_1{x}_2\right)<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-6x_1{x}_2+x_2^2\right)<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-8x_1{x}_2\right)<0$
        $\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-8x_1{x}_2\right]<0$
        $\left(m-4\right)\left[{\left(m-4\right)}^2-8\cdot \left(m^2-7m+12\right)\right]<0$
        $\left(m-4\right)\left(m^2-8m+16-8m^2+56m-96\right)<0$
        $\left(m-4\right)\left(-7m^2+48m-80\right)<0$
            $\swarrow \searrow$                                                       $m=4{\Delta }_m=48^2-4\cdot \left(-7\right)\cdot \left(-80\right)=64$
                              $\sqrt{{\Delta }_m}=8$

$m_1=\frac{-48-8}{-14}=\frac{-56}{-14}=4$
$m_2=\frac{-48+8}{-14}=\frac{-40}{-14}=\frac{20}{7}$

$m\in \left(\frac{20}{7},4\right)\cup \left(4,\infty \right)$

$\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}=2\frac{18}{21}$
$\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}=2\frac{14}{21}$

$m\in \left(\frac{20}{7},4\right)$
Odp.: $m\in \left(\frac{20}{7},4\right)$