$x^2+2\left(m+3\right)x+m+5=0$
$\left(1\right)\Delta >0\to m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(-1,\infty \right)$
$\left(2\right)x_1>0,x_2>0\to m\in \left(-5,-3\right)$

$\left(3\right)x_1^2+3x_1{x}_2+x_2^2>m+9$
        $x_1^2+2x_1{x}_2+x_1{x}_2+x_2^2>m+9$
        ${\left(x_1+x_2\right)}^2+x_1{x}_2>m+9$                                         $m\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(-2,\infty \right)$
        ${\left(-2\left(m+3\right)\right)}^2+m+5>m+9$
        $4m^2+24m+36+m+5>m+9$         
        $4m^2+24m+32>0$
        $m^2+6m+8>0$
        ${\Delta }_m=6^2-4\cdot 1\cdot 8=4$                                                $m\in \left(-5,-4\right)$
        $\sqrt{{\Delta }_m}=2$                                                                    Odp.: $m\in \left(-5,-4\right)$
        $m_1=\frac{-6-2}{2}=-4$                                                 
        $m_2=\frac{-6+2}{2}=-2$