3.1- Zadanie 3.1: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $m \neq = - 6$ , dla których równanie
$\frac{m ^{2} + m - 30}{m + 6} x^{2} - (m - 5) x + m + 6 = 0$
ma dwa różne rozwiązania $x_{1}$ , $x_{2}$ tego samego znaku. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$(1) \frac{m ^{2} + m - 30}{m + 6} \neq = 0$
$m^{2} + m - 30 \neq = 0$
$Δ_{m} = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) = 121$
$Δ_{m} = 11$
$m_{1} = \frac{- 1 - 11}{2} = - 6$
$m_{2} = \frac{- 1 + 11}{2} = 5$
$m \in R ∖ {- 6, 5}$

$(2) Δ > 0$
$(m - 5)^{2} - 4 \cdot \frac{m ^{2} + m - 30}{m + 6} \cdot (m + 6) > 0$

$m^{2} - 10 m + 25 - 4 (m^{2} + m - 30) > 0$
$m^{2} - 10 m + 25 - 4 m^{2} - 4 m + 120 > 0$
$- 3 m^{2} - 14 m + 145 > 0$
$Δ_{m} = (- 14)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 145 = 1936$
$Δ_{m} = 44$
$m_{1} = \frac{14 - 44}{- 6} = 5$ $m_{2} = \frac{14 + 44}{- 6} = - \frac{29}{3}$