Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $\mathbf{m}$, dla których nierówność 
                                                          $\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^2-\left(2\mathbf{m}+1\right)+4\mathbf{m}+2>0$
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $\mathbf{x}$. 

Rozwiązanie $\Delta <0$ ${\left(-\left(2m+1\right)\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(4m+2\right)<0$ ${\left(2m+1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(4m+2\right)<0$ $4m^2+4m+1-8m-4<0$ $4m^2-4m-3<0$ ${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=64$ $\sqrt{{\Delta }_m}=8$ $m_1=\frac{4-8}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$ $m_2=\frac{4+8}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

$m\in \left(-\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right)\wedge m\in \mathbb{Z}$ $m\in \left\{0,1\right\}$ Odp.: $m\in \left\{0,1\right\}$