Rozwiązanie
$\left(1\right)\Delta >0$
        ${\left(-2a\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(a^3-2a\right)>0$
        $4a^2-4a^3+8a>0$
        $-4a\left(a^2-a-2\right)>0$    
        $a=0\vee a^2-a-2=0$
                  ${\Delta }_a={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=9$
                  $\sqrt{{\Delta }_a}=3$
                  $a_1=\frac{1-3}{2}=-1a_2=\frac{1+3}{2}=2$
        $-4a\left(a+1\right)\left(a-2\right)>0$  

        $a\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,2\right)$

$\left(2\right)x_1>0\wedge x_2>0\to \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2>0\\ x_1\cdot x_2>0\end{array}$
        $x_1+x_2>0\to 2a>0\to a>0$
        $a\in \left(0,\infty \right)$

        $x_1\cdot x_2>0\to a^3-2a>0$
        $a\left(a^2-2\right)>0$
        $a\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)>0$
        $a=0\vee a=\sqrt{2}\vee a=-\sqrt{2}$

        $a\in \left(-\sqrt{2},0\right)\cup \left(\sqrt{2},\infty \right)$
$\left(2\right)x_1>0\wedge x_2>0\to a\in \left(\sqrt{2},\infty \right)$