Rozwiązanie

$\left(1\right)$  Funkcja kwadratowa posiada wartość                  największą, gdy:

        $a<0\to m<0$

$\left(2\right)$  Zbiorem wartości funkcji $f$ jest                             przedział $\left(-\infty ,1\right]$, więc:
        $q=1\to -\frac{\Delta }{4a}=1\to \frac{\Delta }{4a}=-1$
        $\frac{{\left(m+2\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m+1\right)}{4m}=-1$
        $m^2+4m+4-4m^2-4m=-4m$
        $-3m^2+4m+4=0$

${\Delta }_m=4^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 4=64$
$\sqrt{{\Delta }_m}=8$
$m_1=\frac{-4-8}{-6}=2>0$
$m_2=\frac{-4+8}{-6}=-\frac{2}{3}<0$

Odp.: $m=-\frac{2}{3}$