Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^2+\left(m-2\right)x+\frac{1}{4}m$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $\mathbf{m}$, dla których funkcja $\mathbf{f}$ nie ma miejsc zerowych. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie $f(x)=x^2+\left(m-2\right)x+\frac{1}{4}m$ $\Delta ={\left(m-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \frac{1}{4}m=$ $=m^2-4m+4-m=m^2-5m+4$ $\Delta <0\to m^2-5m+4<0$ ${\Delta }_m={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$ $\sqrt{{\Delta }_m}=3$ $m_1=\frac{5-3}{2}=1$           $m_2=\frac{5+3}{2}=4$

$m^2-5m+4<0$   dla   $m\in \left(1,4\right)$ Odp.: Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych dla $m\in \left(1,4\right)$.