Rozwiązanie

Z twierdzenia cosinusów:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos 2\alpha =a^2+c^2-2ac\left(2{\cos }^2\alpha -1\right)$

Z twierdzenia sinusów:
$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin 2\alpha }=\frac{b}{2\sin \alpha \cos \alpha }$    $\to$    $a=\frac{b}{2\cos \alpha }$    $\to$    $\cos \alpha =\frac{b}{2a}$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \frac{b}{2a}=b^2+c^2-\frac{b^{2}c}{a}$    $\to$    $\frac{b^{2}c}{a}=b^2+c^2-a^2$
$b^2=a^2+c^2-2ac\left(2{\cos }^2\alpha -1\right)=a^2+c^2-2ac\left(2\cdot \frac{b^2}{4a^2}-1\right)=a^2+c^2-2ac\left(\frac{b^2}{2a^2}-1\right)=$
    $=a^2+c^2-\frac{b^{2}c}{a}+2ac=a^2+c^2+2ac-\left(b^2+c^2-a^2\right)=2a^2-b^2+2ac$
$2b^2=2a^2+2ac$    $\to$    $b^2=a^2+ac$                                                                                              $■$