3- Zadanie 3: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Okrąg o promieniu $5$ jest opisany na trójkącie, którego kąty pozostają w stosunku $3 : 4 : 5$ .
Oblicz długości boków tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$3 α + 4 α + 5 α = 18 0^{\circ}$
$12 α = 18 0^{\circ}$ $∣ : 12$
$α = 1 5^{\circ}$
$3 α = 4 5^{\circ}$
$4 α = 6 0^{\circ}$
$5 α = 7 5^{\circ}$

Z twierdzenia sinusów:

$\frac{x}{sin 4 5 ^{\circ}} = 2 R = 10$
$x = 10 sin 4 5^{\circ} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 52$

$\frac{y}{sin 6 0 ^{\circ}} = 2 R = 10$
$y = 10 sin 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53$

Z twierdzenia cosinusów:
$(53)^{2} = (52)^{2} + z^{2} - 2 \cdot 52 \cdot z \cdot cos 6 0^{\circ}$
$z^{2} - 52 z - 25 = 0$
$Δ = (52)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 25) = 150$ $\to$ $Δ = 56$
$z_{1} = \frac{5 2 - 5 6}{2} < 0$ $z_{2} = \frac{5 2 + 5 6}{2} > 0$
Odp.: $x = 52$ , $y = 53$ , $z = \frac{5}{2} (2 + 6)$