Udowodnij, że środkowe w trójkącie dzielą go na $6$ trójkątów o równych polach.

Rozwiązanie

Oznaczmy pola $6$ trójkątów przez $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ i $P_6$,
według rysunku po prawej stronie.

Zauważmy, że $P_1=P_2$, $P_3=P_4$ i $P_5=P_6$,
bo są to trójkąty o podstawach tej
samej długości i takiej samej wysokości.

Teraz rozważmy trójkąty $ADC$ i $BDC$.
Trójkąty te mają równe pola, bo ich
podstawy są tej samej długości
i mają taką samą wysokość.

Z drugiej strony mamy:   $P_{△ADC}=P_1+P_5+P_5$,    $P_{△BDC}=P_1+P_3+P_3$    $\to$    $P_3=P_5$

Powtarzając to samo rozumowanie dla pary trójkątów $AFB$ i $CFB$ dostajemy: $P_1=P_3$

W takim razie $P_1=P_3=P_5$, co należało udowodnić.                                                          $■$