a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy opisanego trójkąta:

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2|-{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2=15^2-9^2$

${\left|AC\right|}^2=225-81$  

${\left|AC\right|}^2=144|\sqrt{},\left|AC\right|>0$

$\left|AC\right|=12$  

Obliczymy z definicji funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ :

$\sin \alpha =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$  

---

b)

Wykonajmy rysunek pomocniczy opisanego trójkąta:

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2|-{\left|AC\right|}^2$

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|AC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2=34^2-16^2$

${\left|BC\right|}^2=1156-256$

${\left|BC\right|}^2=900|\sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=30$  

Obliczymy z definicji funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ :

$\sin \alpha =\frac{30}{34}=\frac{15}{17}$

$\cos \alpha =\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{30}{16}=\frac{15}{8}$

---

c) 

Wykonajmy rysunek pomocniczy opisanego trójkąta:

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

$2^2+3^2={\left|AB\right|}^2$

$4+9={\left|AB\right|}^2$

${13=\left|AB\right|}^2|\sqrt{},\left|AB\right|>0$  

$\left|AB\right|=\sqrt{13}$  

Obliczymy z definicji funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ :

$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\cdot \sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{2}$

---

d) 

Wykonajmy rysunek pomocniczy opisanego trójkąta:

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta $ABC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2|-{\left|AC\right|}^2$

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|AC\right|}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left(\frac{1}{3}\left|AB\right|\right)}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2-\frac{1}{9}{\left|AB\right|}^2$

${\left|BC\right|}^2=\frac{8}{9}{\left|AB\right|}^2|\sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=\frac{\sqrt{8}}{3}\left|AB\right|$

$\left|BC\right|=\frac{\sqrt{4\cdot 2}}{3}\left|AB\right|$

$\left|BC\right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|$

Obliczymy z definicji funkcje trygonometryczne kąta ostrego $\alpha$ :

$\sin \alpha =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \alpha =\frac{\frac{1}{3}\left|AB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1}{3}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|AB\right|}{\frac{1}{3}\left|AB\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}$