Środkowa trójkąta - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

---

Wiemy, że jedna z przyprostokątnych ma długość $a.$ Przeciwprostokątna jest od niej $5$ razy dłuższa, więc ma długość $5a.$

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa  i obliczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$x^2+a^2={\left(5a\right)}^2$

${x^2+a^{}}^2=25a^2$

$x^2=25a^2-a^2$

$x^2=24a^2|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{24}a=2\sqrt{6}a$

---

Wyznaczymy teraz długość środkowej poprowadzonej do dłuższej przyprostokątnej, czyli przyprostokątnej $BC.$ Dzieli ona bok $BC$ na dwa odcinki o takiej samej długości, równej $\sqrt{6}a.$

Rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $\text{ACD}$ i obliczamy długość środkowej $AD.$

${\left|AD\right|}^2=a^2+{\left(\sqrt{6}a\right)}^2$

${\left|AD\right|}^2=a^2+6a^2$

${\left|AD\right|}^2=7a^2|\sqrt{},|AD|>0$

$\left|AD\right|=\underline{\underline{a\sqrt{7}}}$