Udowodnimy, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie jest podzielna przez $3.$

Niech $n$ będzie liczbą naturalną. 

Wtedy liczby $n$, $n+1$ oraz $n+2$ są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. 

Wyznaczmy sumę kwadratów tych trzech liczb. Mamy:

$n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2=\dots$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ mamy: 

$n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=3n^2+6n+5=$

$=3n^2+6n+3+2=3\left(n^2+2n+1\right)+2$

Liczba $3\left(n^2+2n+1\right)$ jest iloczynem liczby $3$ i pewnej liczby naturalnej $n^2+2n+1,$ czyli jest podzielna przez $3.$

Suma liczby podzielnej przez $3$ i liczby $2$ nie jest liczbą podzielną przez $3.$

Uzasadniliśmy, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie jest podzielna przez $3.$