Wybrane wzory redukcyjne

Dla dowolnego kąta  𝛼  prawdziwe są zależności: $\text{1.}\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$   $\text{2.}\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=-\cos \alpha$   $\text{3.}\text{tg}\left({180}^{\circ }+\alpha \right)=\text{tg}\alpha ,\alpha \ne {90}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ },k\in \mathbb{Z}$   $\text{4.}\text{tg}\left({360}^{\circ }-\alpha \right)=-\text{tg}\alpha ,\alpha \ne {90}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ },k\in \mathbb{Z}$ $\text{5.}\sin \left({180}^{\circ }+\alpha \right)=-\sin \alpha$   $\text{6.}\cos \left({360}^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$

---

a)

Mamy obliczyć wartość wyrażenia:

$\frac{\sin {150}^{\circ }}{\cos {120}^{\circ }}$  

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych i obliczamy

$\sin {150}^{\circ }=\sin \underset{{150}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)}}=\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$  

$\cos {120}^{\circ }=\cos \underset{{120}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)}}=-\cos {60}^{\circ }=-\frac{1}{2}$  

Zatem

$\frac{\sin {150}^{\circ }}{\cos {120}^{\circ }=}\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=\underline{\underline{-1}}$  

---

b)

Mamy obliczyć wartość wyrażenia:

$\frac{\text{tg}{225}^{\circ }-\text{tg}{315}^{\circ }}{\sin {135}^{\circ }\cdot \cos {315}^{\circ }}$  

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych i obliczamy:

$\text{tg}{225}^{\circ }=\text{tg}\underset{{225}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)}}=\text{tg}{45}^{\circ }=1$  

$\text{tg}{315}^{\circ }=\text{tg}\underset{{315}^{\circ }}{\underbrace{\left({360}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)}}=-\text{tg}{45}^{\circ }=-1$  

$\sin {135}^{\circ }=\sin \underset{{135}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)}}=\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos {135}^{\circ }=\cos \underset{{135}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)}}=-\cos {45}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem

$\frac{\text{tg}{225}^{\circ }-\text{tg}{315}^{\circ }}{\sin {135}^{\circ }\cdot \cos {315}^{\circ }}=\frac{1-\left(-1\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{2}{-\frac{2}{4}}=2\cdot \left(-\frac{4}{2}\right)=\underline{\underline{-4}}$  

---

c)

Mamy obliczyć wartość wyrażenia:

$\frac{{\sin }^2{240}^{\circ }}{\cos {300}^{\circ }}$  

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych i obliczamy:

$\sin {240}^{\circ }=\sin \underset{{240}^{\circ }}{\underbrace{\left({180}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)}}=-\sin {60}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos {300}^{\circ }=\cos \underset{{300}^{\circ }}{\underbrace{\left({360}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)}}=\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$  

Zatem

$\frac{{\sin }^2{240}^{\circ }}{\cos {300}^{\circ }}=\frac{{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}\cdot 2=\underline{\underline{\frac{3}{2}}}$