Prawa działań na logarytmach

Jeżeli a, b, x, y są liczbami dodatnimi oraz a≠ 1, to: $1.{\log }_a\left(x\cdot y\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$   $2.{\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$   $3.{\log }_a{x}^p=p\cdot {\log }_{a}x,\text{gdzie}p\in \mathbb{R}$   $4.{\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b},\text{dla}b\ne 1$

---

a)

Zakładamy, że

$a>1,b>1,N>1$  

Wiemy, że spełniona jest równość

${\log }_{a^{2}b}N=\frac{3}{20}\cdot \left({\log }_{a}N+{\log }_{b}N\right)$  

Mamy wyznaczyć wszystkie wartości wyrażenia log_ab.

---

Zapisujemy wszystkie logarytmy w danej równości jako logarytmy przy podstawie a. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

• ${\log }_{a^{2}b}N\stackrel{4}{=}\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_a{a}^{2}b}\stackrel{1}{=}\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b}\stackrel{3}{=}\frac{{\log }_{a}N}{2{\log }_{a}a+{\log }_{a}b}=\frac{{\log }_{a}N}{2+{\log }_{a}b}$  
• ${\log }_{b}N\stackrel{4}{=}\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$  

Zatem dana równość sprowadza się do

$\frac{{\log }_{a}N}{2+{\log }_{a}b}=\frac{3}{20}\left({\log }_{a}N+\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}\right)$  

Wyłączamy po prawej stronie liczbę log_aN przed nawias i otrzymujemy:

${\log }_{a}N\cdot \frac{1}{2+{\log }_{a}b}=\frac{3}{20}\cdot {\log }_{a}N\left(1+\frac{1}{{\log }_{a}b}\right)$  

Liczby a i N są liczbami większymi od 1, zatem liczba log_aN jest większa od 0. Wobec tego dzielimy powyższą równość przez log_aN i otrzymujemy:

$\frac{1}{2+{\log }_{a}b}=\frac{3}{20}\left(1+\frac{1}{{\log }_{a}b}\right)\mid \cdot 20$  

$\frac{20}{2+{\log }_{a}b}=3\left(1+\frac{1}{{\log }_{a}b}\right)$  

$\frac{20}{2+{\log }_{a}b}=3\cdot \frac{{\log }_{a}b+1}{{\log }_{a}b}$  

$\frac{20}{2+{\log }_{a}b}=\frac{3{\log }_{a}b+3}{{\log }_{a}b}$  

Dokonujemy podstawienia

${\log }_{a}b=t$  

Liczby a i b są większe od 1, zatem t będzie liczbą dodatnią.

Wówczas równanie sprowadza się do postaci:

$\frac{20}{2+t}=\frac{3t+3}{t}$   

Czyli

$20t=\left(3t+3\right)\left(2+t\right)$  

$20t=6t+3t^2+6+3t$  

$20t=3t^2+9t+6$  

$3t^2+9t-20t+6=0$  

$3t^2-11t+6=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

${\Delta }_t={\left(-11\right)}^2-4\cdot 3\cdot 6=121-72=49$  

$\sqrt{{\Delta }_t}=7$  

$t_1=\frac{11-7}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}>0$  

$t_2=\frac{11+7}{6}=\frac{18}{6}=3>0$  

Wracamy z podstawieniem do pierwotnej niewiadomej i otrzymujemy, że

${\log }_{a}b=\frac{2}{3}\vee {\log }_{a}b=3$  

Odp.: Liczba log_ab może przyjmować dwie wartości ²/₃ lub 3.