Z treści zadania wiemy, że liczby 

$\log 2,\log \left(x+2\right),\log \left(x+6\right)$  

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

---

Aby powyższe logarytmy były poprawnie określone, zakładamy, że

$x+2>0\wedge x+6>0$  

$x>-2x>-6$  

Czyli mamy, że

$x\in \left(-2;\infty \right)$  

---

Przypomnijmy, że trzy liczby (a, b, c) tworzą ciąg arytmetyczny, gdy spełniony jest warunek: