Podczas tej lekcji:

przypomnimy podstawowe pojęcia związane z kątami
omówimy wzajemne położenie kątów
przybliżymy najważniejsze informacje związane z symetralną odcinka i dwusieczną kąta

(Podczas tej lekcji przypomnimy podstawowe pojęcia związane z kątami i omówimy wzajemne położenie kątów. Opowiemy również czym jest symetralna odcinka oraz dwusieczna kąta.
Wiedza ta będzie pewnym wstępem do kolejnych lekcji, ponieważ z pojęciami które dziś omówimy spotkacie się w zadaniach nieco bardziej złożonych, które przedstawiamy w innych filmach związanych z geometrią. Warto więc zapamiętać o czym dziś będziemy mówić, aby łatwiej było wam robić zadania, w których pojawi się np. pojęcie symetralnej odcinka albo dwusiecznej kąta.)

(Rozpoczniemy od szybkiego przypomnienia najważniejszych informacji o kątach)

Kątem nazywamy część płaszczyzny wyznaczoną przez dwie półproste o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi.

(Przypomnijmy)

Podział kątów ze względu na miary:

Kąty o mierze od do włącznie nazywamy kątami wypukłymi.

(Omówimy jeszcze wzajemne położenie kątów. To również możecie kojarzyć już ze szkoły podstawowej. Warto jednak zauważyć że nie znajdziecie tego w tablicach maturalnych. Kąty przyległe przylegają do siebie ramieniem, czyli mają wspólne ramie i tworzą razem kąt półpełny, czyli kąt o mierze 180 stopni. Kąty wierzchołkowe stykają się wierzchołkiem, powstały one przez przecięcie się dwóch prostych. Mają one taką samą miarę. Omówimy też kąty odpowiadające i naprzemianległe, ale tylko w sytuacji, gdy mamy podane już dwie proste równoległe. Więc jeśli przetniemy je trzecią prostą, to kąty zaznaczone na rysunku nazywamy odpowiadającymi i mają one takie same miary, na drugim rysunku mamy natomiast kąty naprzemianległe i też mają one taką samą miarę. )

Wzajemne położenie kątów:

(Zajmijmy się teraz przypomnieniem czym jest symetralna odcinka i dwusieczna kąta.)

Definicja

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, dzieląca go na dwie równe części.

rys

(Zauważmy, że symetralna odcinka przechodzi przez środek tego odcinka. Przydaje się to w zadaniach maturalnych z geometrii analitycznej, w których trzeba znaleźć np. równanie symetralnej odcinka.)

(Możemy też zapisać następujące twierdzenie związane z symetralną odcinka.)

Twierdzenie

Symetralna odcinka to zbiór punktów równoodległych od początku i końca odcinka.

Czyli możemy z tego wywnioskować, że jakiś punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo oddalony od początku i końca tego odcinka.

Definicja

Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, dzieląca go na dwa równe kąty.

rys

(Warto też zwrócić uwagę na następujące twierdzenie związane z dwusieczną kąta.)

Twierdzenie

Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów leżących wewnątrz kąta, które są jednakowo oddalone od ramion tego kąta.

Czyli możemy z tego wywnioskować, że jakiś punkt leży na dwusiecznej kąta wypukłego wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoodległy od ramion tego kąta.

rys

zadania maturalne

Zadanie 1. Wiadomo, że proste i podane na poniższym rysunku są równoległe.

rys.

Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wynosi

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Korzystając z własności kątów odpowiadających mamy:

rys.

Korzystamy teraz z własności kątów przyległych:

Zadanie 2. Na poniższym rysunku znajdują się proste równoległe i . Dodatkowo poprowadzono prostą , w której zawiera się dwusieczna kąta , przecinająca bok w punkcie . Wiadomo, że .

rys.

Wskaż dwa zdania prawdziwe związane z podanym rysunkiem.

A. B. C.

D. E. F.

Rozwiązanie

Korzystając z tego, że półprosta jest dwusieczną kąta dostajemy:

rys.

Możemy wykorzystać teraz własność kątów wierzchołkowych:

Na koniec wykorzystujemy własność kątów odpowiadających lub naprzemianległych i dostajemy, że