Podczas tej lekcji:

• przypomnimy podstawowe pojęcia związane z kątami
• omówimy wzajemne położenie kątów
• przybliżymy najważniejsze informacje związane z symetralną odcinka i dwusieczną kąta

(Podczas tej lekcji przypomnimy podstawowe pojęcia związane z kątami i omówimy wzajemne położenie kątów. Opowiemy również czym jest symetralna odcinka oraz dwusieczna kąta.
Wiedza ta będzie pewnym wstępem do kolejnych lekcji, ponieważ z pojęciami które dziś omówimy spotkacie się w zadaniach nieco bardziej złożonych, które przedstawiamy w innych filmach związanych z geometrią. Warto więc zapamiętać o czym dziś będziemy mówić, aby łatwiej było wam robić zadania, w których pojawi się np. pojęcie symetralnej odcinka albo dwusiecznej kąta.)

(Rozpoczniemy od szybkiego przypomnienia najważniejszych informacji o kątach)

 Kątem nazywamy część płaszczyzny wyznaczoną przez dwie półproste o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi.

(Przypomnijmy)

Podział kątów ze względu na miary:

Kąty o mierze od $0^{\circ }$ do $180^{\circ }$ włącznie nazywamy kątami wypukłymi.

---

(Omówimy jeszcze wzajemne położenie kątów. To również możecie kojarzyć już ze szkoły podstawowej. Warto jednak zauważyć że nie znajdziecie tego w tablicach maturalnych. Kąty przyległe przylegają do siebie ramieniem, czyli mają wspólne ramie i tworzą razem kąt półpełny, czyli kąt o mierze 180 stopni. Kąty wierzchołkowe stykają się wierzchołkiem, powstały one przez przecięcie się dwóch prostych. Mają one taką samą miarę. Omówimy też kąty odpowiadające i naprzemianległe, ale tylko w sytuacji, gdy mamy podane już dwie proste równoległe. Więc jeśli przetniemy je trzecią prostą, to kąty zaznaczone na rysunku nazywamy odpowiadającymi i mają one takie same miary, na drugim rysunku mamy natomiast kąty naprzemianległe i też mają one taką samą miarę. )

Wzajemne położenie kątów:

---

(Zajmijmy się teraz przypomnieniem czym jest symetralna odcinka i dwusieczna kąta.)

Definicja

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, dzieląca go na dwie równe części.

rys

(Zauważmy, że symetralna odcinka przechodzi przez środek tego odcinka. Przydaje się to w zadaniach maturalnych z geometrii analitycznej, w których trzeba znaleźć np. równanie symetralnej odcinka.)

(Możemy też zapisać następujące twierdzenie związane z symetralną odcinka.)

Twierdzenie

Symetralna odcinka to zbiór punktów równoodległych od początku i końca odcinka.

Czyli możemy z tego wywnioskować, że jakiś punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo oddalony od początku i końca tego odcinka.

Definicja

Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, dzieląca go na dwa równe kąty.

rys

(Warto też zwrócić uwagę na następujące twierdzenie związane z dwusieczną kąta.)

Twierdzenie

Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów leżących wewnątrz kąta, które są jednakowo oddalone od ramion tego kąta.

Czyli możemy z tego wywnioskować, że jakiś punkt leży na dwusiecznej kąta wypukłego wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoodległy od ramion tego kąta. 

rys

---

zadania maturalne

Zadanie 1. Wiadomo, że proste $k$ i $l$ podane na poniższym rysunku są równoległe.

rys.

Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $\alpha$ wynosi

A. $20^{\circ }$                                 B. $30^{\circ }$                               C. $40^{\circ }$                             D. $40^{\circ }$ 

Rozwiązanie

Korzystając z własności kątów odpowiadających mamy:

rys.

Korzystamy teraz z własności kątów przyległych:

$\alpha +3\alpha =180^{\circ }$

$4\alpha =180^{\circ }\text{|}:4$

$\alpha =45^{\circ }$

---

Zadanie 2. Na poniższym rysunku znajdują się proste równoległe $k$ i $l$. Dodatkowo poprowadzono prostą $m$, w której zawiera się dwusieczna kąta $BAC$, przecinająca bok $BC$ w punkcie $D$. Wiadomo, że $\left|\sphericalangle BAC\right|=60^{\circ }$. 

rys.

Wskaż dwa zdania prawdziwe związane z podanym rysunkiem.

A. $\alpha =20^{\circ }$                                     B. $\beta =30^{\circ }$                                 C. $\beta =\gamma$                             

D. $\alpha =\beta$                                        E. $\gamma =40^{\circ }$                                  F. $\alpha =\gamma$         

Rozwiązanie

Korzystając z tego, że półprosta $AD$jest dwusieczną kąta $BAC$dostajemy:

$\left|\sphericalangle BAD\right|=\left|\sphericalangle DAC\right|=60^{\circ }:2=30^{\circ }$

rys.

Możemy wykorzystać teraz własność kątów wierzchołkowych:

$\alpha =30^{\circ }$

Na koniec wykorzystujemy własność kątów odpowiadających lub naprzemianległych i dostajemy, że

$\alpha =\beta$

$\beta =30^{\circ }$