Zadanie x. Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{5}{4}$.

Wyznacz wartość wyrażenia ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2$.

Rozwiązanie

${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =$
$=1-2\sin \alpha \cos \alpha =\dots$

$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{5}{4}$ (Kąt alpha jest ostry, więc sinus i cosinus tego kąta są liczbami dodatnimi. Więc obie strony tej równości są dodatnie. Możemy podnieść to równanie do kwadratu.)

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{5}{4}\right)}^2$

${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{25}{16}$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{25}{16}$

$1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{25}{16}|-1$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{25}{16}-1$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{25}{16}-\frac{16}{16}$

$\underline{2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{9}{16}}$

 

 

${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =$
$=1-2\sin \alpha \cos \alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{16}{16}-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

Odp.: ${\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2=\frac{7}{16}$

 

---

 

 

Przykład x. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{2}{7}$. Wyznacz wartości $\cos \alpha$ i $\mathrm{tg}\alpha$.

Rozwiązanie (I sposób) (będziemy korzystać z tożsamości trygonometrycznych - small tożs)

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{2}{7}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{4}{49}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{49}$

${\cos }^2\alpha =\frac{49}{49}-\frac{4}{49}$

${\cos }^2\alpha =\frac{45}{49}\text{i}\cos \alpha >0$, bo $\alpha$ jest kątem ostrym

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{45}}{7}$

$\underline{\cos \alpha =\frac{3\sqrt{5}}{7}}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}}=\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\underline{\frac{2\sqrt{5}}{15}}$

Odp.: $\cos \alpha =\frac{3\sqrt{5}}{7}$,  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{15}$

 

Przykład x. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{2}{7}$. Wyznacz wartości $\cos \alpha$ i $\mathrm{tg}\alpha$.

Rozwiązanie (II sposób)

(Zadanie to możemy rozwiązać też innym sposobem, bez korzystania z tożsamości trygonometrycznych. Wykorzystamy tutaj definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i twierdzenie Pitagorasa)

Narysujmy trójkąt prostokątny i oznaczmy jeden z jego kątów ostrych przez alpha. Skoro sin alpha jest równy dwie siódme, to znaczy, że stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta alpha do długości przeciwprostokątnej wynosi dwie siódme. Długości tych boków możemy więc oznaczyć odpowiednio przez 2x i 7x. 

RYSUNEK

${\left(2x\right)}^2+b^2={\left(7x\right)}^2$

$4x^2+b^2=49x^2$

$b^2=45x^2$   i   $b>0$, $x>0$

$b=\sqrt{45}x$

$\underline{b=3\sqrt{5}x}$

$\cos \alpha =\frac{3\sqrt{5}x}{7x}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2x}{3\sqrt{5}x}=\frac{2}{3\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$

Odp.: $\cos \alpha =\frac{3\sqrt{5}}{7}$,  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{15}$

 

 

Przykład x. Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\mathrm{tg}\alpha =-3$. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$.

Rozwiązanie

$\mathrm{tg}\alpha =-3$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-3|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =-3\cos \alpha$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(-3\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$9{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$10{\cos }^2\alpha =1|:10$

$\cos \alpha =\frac{1}{10}$   i   $\cos \alpha <0$, bo $\alpha$ jest kątem rozwartym

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\underline{\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}}$

$\sin \alpha =-3\cos \alpha =-3\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=3\cdot \frac{\sqrt{10}}{10}=\underline{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$

Odp.: $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$,  $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$

 

---

 

Zadanie 1. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A.  $\frac{2}{3}$                    B.  $2$                   C.  $\frac{\sqrt{5}}{2}$                   D.  $\frac{2\sqrt{5}}{2}$

Rozwiązanie

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{5}{9}=1$

${\sin }^2\alpha =\frac{4}{9}$   i   $\sin \alpha >0$, bo $\alpha$ jest kątem ostrym

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{3}:\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

 

 

 

 

 

Zadanie x. Dany jest kąt $\alpha$ taki, że $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ oraz $\alpha \in \left(90^{\circ },180^{\circ }\right)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\frac{12}{13}$.	P	F
Tangens kąta $\alpha$ jest równy $\frac{12}{5}$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{25}{169}=1|-\frac{25}{169}$

${\sin }^2\alpha =1-\frac{25}{169}$

${\sin }^2\alpha =\frac{169}{169}-\frac{25}{169}$

${\sin }^2\alpha =\frac{144}{169}$   i   $\sin \alpha >0$, bo $\alpha$ jest kątem rozwartym

$\sin \alpha =\frac{12}{13}$

 

Zdanie drugie

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$

 

---

 

 

Zadanie x. Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym i $\mathrm{tg}\alpha =\frac{11}{12}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\frac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{12\sin \alpha -2\cos \alpha }$ jest równa

A.  $\left(-\frac{1}{6}\right)$                    B.  $\left(-6\right)$                   C.  $\left(-\frac{2}{27}\right)$                   D.  $\left(-\frac{27}{2}\right)$

Rozwiązanie

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{11}{12}$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{11}{12}|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =\frac{11}{12}\cos \alpha$

$\frac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{12\sin \alpha -2\cos \alpha }=\frac{3\cos \alpha -4\cdot \frac{11}{12}\cos \alpha }{12\cdot \frac{11}{12}\cos \alpha -2\cos \alpha }=\frac{3\cos \alpha -\frac{11}{3}\cos \alpha }{11\cos \alpha -2\cos \alpha }=\frac{3\cos \alpha -3\frac{2}{3}\cos \alpha }{9\cos \alpha }=$

$=\frac{-\frac{2}{3}\cos \alpha }{9\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{3}}{9}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{9}=-\frac{2}{27}$

 

Zadanie x. Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $\frac{3\sin \alpha +7\cos \alpha }{2\cos \alpha }=6$.  (do pierwszej lekcji z tożsamości tryg)

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy $\stackrel{1\frac{2}{3}}{{}_{...................}}$.

Rozwiązanie

$\frac{3\sin \alpha +7\cos \alpha }{2\cos \alpha }=6|\cdot 2\cos \alpha$

$3\sin \alpha +7\cos \alpha =12\cos \alpha |-7\cos \alpha$

$3\sin \alpha =5\cos \alpha |:3$

$\sin \alpha =\frac{5}{3}\cos \alpha |:\cos \alpha$, bo $\cos \alpha \ne 0$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5}{3}$

$\mathrm{tg}\alpha =1\frac{2}{3}$

 

 

Zadanie x. Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym i $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\sin \alpha \cos \alpha$ jest równa

A.  $1-\frac{\sqrt{6}}{2}$                    B.  $\frac{1}{4}$                   C.  $\frac{1}{2}$                   D.  $1$

Rozwiązanie

$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{2}$

${\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2$

${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{6}{4}$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{2}$

$1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{3}{2}$

$2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}|:2$

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{4}$

 

 

---

 

 

 

Zadanie x. Pole rombu o boku długości xxx jest równe xxx.

Tangens kąta ostrego tego rombu wynosi: