Rozwiązanie trójkąta to wyznaczenie długości jego trzech boków i wyznaczenie miar jego kątów.

Do rozwiązania trójkąta prostokątnego wystarczy znać:

• długości dowolnych dwóch jego boków
• długość dowolnego jego boku i miarę jednego z jego kątów ostrych

 

---

 

Przykład x. Wyznacz brakujące długości boków podanego trójkąta prostokątnego. (rysunek 1) (albo do rozwiazywania trojkatow)

$\sin 60^{\circ }=\frac{10}{b}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{b}$ (proporcja)

$\sqrt{3}b=20|:\sqrt{3}$

$b=\frac{20}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$

 

$\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{10}{a}$

$\sqrt{3}=\frac{10}{a}|\cdot a$

$\sqrt{3}a=10|:\sqrt{3}$

$a=\frac{10}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Odp.: $a=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,  $b=\frac{20\sqrt{3}}{3}$

 

 

---

 

Zadanie x.  W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $8$, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $\alpha$ wynosi $3$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $\alpha$ tego trójkąta spełnia warunek

A.  $\alpha \in \left[15^{\circ },20^{\circ }\right)$                    B.  $\alpha \in \left[20^{\circ },25^{\circ }\right)$                    C.  $\alpha \in \left[25^{\circ },30^{\circ }\right)$                    D.  $\alpha \in \left[30^{\circ },35^{\circ }\right)$

Rozwiązanie

rys

$\sin \alpha =\frac{3}{8}=0,375$

Z tablic odczytujemy ...

 

---

 

 

Zadanie 1. W trójkącie prostokątnym $ABC$ cosinus kąta $ACB$ jest równy $\frac{15}{17}$. Przeciwprostokątna $BC$ jest o $2$ dłuższa od przyprostokątnej $AC$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przyprostokątnej $AC$ tego trójkąta wynosi

A.  $8$                    B.  $13$                    C.  $15$                    D.  $17$

Rozwiązanie

$\cos \alpha =\frac{x}{x+2}$

$\frac{x}{x+2}=\frac{15}{17}$

$17x=15\left(x+2\right)$

$17x=15x+30$

$2x=30|:2$

$x=15\to \left|AC\right|=15$

 

 

Zadanie 2. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $2$ i $2\sqrt{3}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę

A.  $15^{\circ }$                    B.  $30^{\circ }$                    C.  $45^{\circ }$                    D.  $60^{\circ }$

Rozwiązanie

$\alpha \to$   najmniejszy kąt tego trójkąta

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\to \alpha =30^{\circ }$

 

 

---

 

 

 

Zadanie 3. Dany jest trójkąt prostokątny przedstawiony na rysunku poniżej. Wiadomo, że $\sin \alpha =\frac{1}{4}$.

 

 

Zadanie 3.1. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego trójkąta jest równe

A.  $8$                    B.  $16$                    C.  $2\sqrt{15}$                    D.  $4\sqrt{15}$

Rozwiązanie

$\sin \alpha =\frac{2}{y}$

$\frac{1}{4}=\frac{2}{y}$

$y=2\cdot 4=8$

$x^2+2^2=8^2$

$x^2+4=64$

$x^2=60$   i   $x>0$

$x=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}$

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$

 

---

 

Zadanie 3.2. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy 

A.  $8$                    B.  $16$                    C.  $2\sqrt{15}$                    D.  $4\sqrt{15}$

Rozwiązanie

$\cos \alpha =$

 

 

Zadanie 4. Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny.

rys 10 

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W podanym trójkącie zachodzi związek

A.  $m=k\cdot \sin 15^{\circ }$                    B.  $m=l\cdot \cos 15^{\circ }$                    C.  $m=\frac{l}{\sin 15^{\circ }}$                    D.  $m=\frac{l}{\cos 15^{\circ }}$

Rozwiązanie

$\sin 15^{\circ }=\frac{k}{m}|\cdot m$

$m\cdot \sin 15^{\circ }=k|:\sin 15^{\circ }$

$m=\frac{k}{\sin 15^{\circ }}$

 

$\cos 15^{\circ }=\frac{l}{m}|\cdot m$

$m\cdot \cos 15^{\circ }=l|:\cos 15^{\circ }$

$m=\frac{l}{\cos 15^{\circ }}$