Zadanie 3. W ciągu geometrycznym $\left(a_n\right)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge 1$, zachodzi $S_1=2$ i $S_2=6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:

A.  $9\cdot 2$                   B.  $-2\left(2^9+1\right)$                    C.  $2\left(1-2^9\right)$                    D.  $2\left(2^9-1\right)$

Rozwiązanie

$S_9=9a_1$       albo       $S_9=a_1\cdot \frac{1-q^9}{1-q}$ 

$S_1=a_1⟶a_1=2$

$S_2=a_1+a_2⟶a_2=S_2-a_1=6-2=4$

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2\ne 1$

$S_9=a_1\cdot \frac{1-q^9}{1-q}=2\cdot \frac{1-2^9}{1-2}=2\cdot \frac{1-2^9}{-1}=\frac{2\left(1-2^9\right)}{-1}=-2\left(1-2^9\right)=2\left(-1+2^9\right)=2\left(2^9-1\right)$