Przykład 2. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$, określonego dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$, w którym:

a)  $a_1=8$,   $q=\frac{1}{2}$                         b)  $a_2=5$,   $q=-1$                         c)  $a_{2024}=a_{2025}=2026$

Rozwiązanie 

a) $q=\frac{1}{2}\ne 1$

$S_{10}=a_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=2\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}=2\cdot \frac{1023}{1024}\cdot 2{=}^1\bcancel{4}\cdot {\frac{1023}{\bcancel{1024}}}_{256}=\underline{\underline{\frac{1023}{256}}}$

b) $q=-1\ne 1$

$a_1=a_2:q=5:(-1)=-5$

$S_{10}=a_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=-5\cdot \frac{1-(-1{)}^{10}}{1-(-1)}=-5\cdot \frac{1-1}{1+1}=-5\cdot \frac{0}{2}=-5\cdot 0=\underline{\underline{0}}$