Zadanie 3. Liczby $x+1$, $3x$, $2x+8$ w podanej kolejności tworzą pewien trzywyrazowy ciąg. Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których ten ciąg jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.

Rozwiązanie 

Ciąg $(x+1,3x,2x+8)$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\left(3x\right)}^2=(x+1)(2x+8)$

$9x^2=2x^2+8x+2x+8$

$9x^2=2x^2+10x+8$

$7x^2-10x-8=0$

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 7\cdot \left(-8\right)=100+224=324,\sqrt{\Delta }=18$

$x_1=\frac{-\left(-10\right)-18}{2\cdot 7}=\frac{-8}{14}=-\frac{4}{7}$

$x_2=\frac{-\left(-10\right)+18}{2\cdot 7}=\frac{28}{14}=2$