Metoda przeciwnych współczynników.

Metoda przeciwnych współczynników polega na wykonaniu następujących kroków:

1. Sprawdzamy, czy przy którejś niewiadomej występują przeciwne współczynniki (czyli liczby różniące się tylko znakiem), jeśli tak -idziemy do kolejnego punktu, jeśli nie - przekształcamy równanie lub dwa równania tak, aby przy jakiejś niewiadomej były przeciwne współczynniki.
2. Dodajemy równania stronami.
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
4. Podstawiamy otrzymaną wartość do wybranego równania z układu równań i obliczamy drugą niewiadomą.

"Zobaczmy to od razu na przykładzie"

---

Przykład 1. Rozwiąż podany układ równań metodą przeciwnych współczynników.

a)

$\{\begin{array}{l}4x+2y=-10\\ -x+y=1\end{array}$

Widzimy, że przy żadnej z niewiadomych nie mamy przeciwnych współczynników, natomiast możemy zauważyć, że jeśli np. drugie równanie pomnożymy przez 4, to wtedy przy x- ie będzie stała liczba -4, czyli liczba przeciwna do czwórki, krtóra stoi przy x-ie w pierwszym równaniu.

$\{\begin{array}{l}4x+2y=-10\\ -x+y=1|\cdot 4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+2y=-10\\ -4y+4y=4\end{array}$

Teraz dodajemy równania stronami. Zauważmy, że 4x dodać minus 4x, to inaczej 4x odjąć 4x, czyli 0. Dalej mamy 2y dodać 4y, czyli 6y to się równa -10 dodać 4, czyli -6. 

$6y=-6$

Dzieląc otrzymane równanie przez 6 otrzymujemy x-a równego minus 1.

$y=-1$

Wybieramy teraz dowolne równanie z układu równań. Wybierzmy takie, które wydaje nam się najprostsze.

Weźmy np. równanie -x+y=1. Wstawiamy teraz w miejsce y liczbę -1 i wyznaczamy x.

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ -x+y=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ -x-1=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ -x=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=-2\end{array}$ 

---

b)

$\{\begin{array}{l}6-2x=6y\\ -4x-12y=-12\end{array}$

Rozpoczniemy najpierw od uporządkowania tego układu równań w taki sposób, aby x był pod x-em, y pod y-kiem, a liczba pod liczbą. Wtedy będzie nam łatwiej rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{array}{l}-2x-6y=-6\\ -4x-12y=-12\end{array}$ 

$\{\begin{array}{l}-2x-6y=-6|\cdot (-2)\\ -4x-12y=-12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+12y=12\\ -4x-12y=-12\end{array}$

Dodajemy równania stronami

$0=0$

układ nieoznaczony

Rozwiązaniem tego układu jest nieskończenie wiele par liczb postaci:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{6-2x}{6}\\ x\in \mathbb{R}\end{array}$

---

c)

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2y}{3}=-\frac{1}{2}\\ -3x+6y=0,5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2y}{3}=-\frac{1}{2}|\cdot 6\\ -3x+6y=0,5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2\left(x-2y\right)=-3\\ -3x+6y=0,5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2x-4y=-3|\cdot 3\\ -3x+6y=0,5|\cdot 2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}6x-12y=-9\\ -6x+12y=1\end{array}$

Dodajemy równania stronami

$0=-8$

układ sprzeczny

---

Przyjrzymy się teraz kilku zadaniom typu maturalnego, w których warto rozwiązać podane układy równań właśnie metodą przeciwnych współczynników.

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań $\{\begin{array}{l}-3x+5y=2\\ 4x-10y=4\end{array}$

A. ma nieskończenie wiele rozwiązań.                                                         
B. ma dokładnie dwa rozwiązania.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie.                                                             
D. nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie

$\{\begin{array}{l}-3x+5y=2|\cdot 2\\ 4x-10y=4\end{array}$ 

$\{\begin{array}{l}-6x+10y=4\\ 4x-10y=4\end{array}$ 

Dodajemy równania stronami

$-2x=8$

$x=-4$

$\{\begin{array}{l}-3\cdot \left(-4\right)+5y=2\\ x=-4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}12+5y=2\\ x=-4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}5y=-10\\ x=-4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-2\\ x=-4\end{array}$

Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb $\{\begin{array}{l}y=-2\\ x=-4\end{array}$.

---

Zadanie 2. Dany jest układ równań $\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+3y=6\\ -\sqrt{2}x+y=10\end{array}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podany wyżej układ równań spełnia para liczb

A. $\{\begin{array}{l}x=-3\sqrt{2}\\ y=4\end{array}$           B. $\{\begin{array}{l}x=6\sqrt{2}\\ y=-2\end{array}$             C. $\{\begin{array}{l}x=-6\sqrt{2}\\ y=4\end{array}$              D. $x\{\begin{array}{l}x=-15\sqrt{2}\\ y=12\end{array}$ 

Rozwiążemy układ równań przećwiczoną przed chwilą metodą.

Rozwiązanie

Widzimy, że przy x-ach mamy liczby różnice się znakiem, czyli od razu nasuwa nam się metoda przeciwnych współczynników.

$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+3y=6\\ -\sqrt{2}x+y=10\end{array}$ 

dodajemy równania stronami

 $4y=16$

Wyznaczamy y z otrzymanego równania. Łatwo można zauważyć, że y to czwórka.

$y=4$

Musimy jeszcze znaleźć x-a. Bierzemy jedno z równań i wstawiamy 4 w miejsce. Możemy zapisać to teraz w postaci układu równań, natomiast nie jest to konieczne i możemy zająć się na razie samym tym równaniem.

$\sqrt{2}x+3\cdot 4=6$

$\sqrt{2}x+12=6|-12$

$\sqrt{2}x=-6$

$x=-\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{6\sqrt{2}}{2}=-3\sqrt{2}$

Na końcu zapiszmy jeszcze odpowiedź. x to - 3 pierwiastki z dwóch, a y to 4.

$\{\begin{array}{l}x=-3\sqrt{2}\\ y=4\end{array}$

Zauważmy, że jest to odpowiedź A.

---

Zadanie 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{array}{l}x-2y=10\\ \frac{3x+2y}{2}=-5\end{array}$ jest para liczb

A. których iloczyn jest liczbą ujemną.                                                         
B. których iloczyn jest zerem.
C. których iloczyn jest liczbą dodatnią, a suma jest dodatnia.                                               
D. iloczyn jest liczbą dodatnią, a suma jest ujemna.   

Rozwiązanie

$\{\begin{array}{l}x-2y=10\\ \frac{3x+2y}{2}=-5|\cdot 2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x-2y=10\\ 3x+2y=-10\end{array}$

dodajemy równania stronami

$4x=0$

$x=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 3\cdot 0+2y=-10\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y=-10\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-5\end{array}$

$x\cdot y=0\cdot 5=0$