Metoda przeciwnych współczynników.

Metoda przeciwnych współczynników polega na wykonaniu następujących kroków:

Sprawdzamy, czy przy którejś niewiadomej występują przeciwne współczynniki (czyli liczby różniące się tylko znakiem), jeśli tak -idziemy do kolejnego punktu, jeśli nie - przekształcamy równanie lub dwa równania tak, aby przy jakiejś niewiadomej były przeciwne współczynniki.
Dodajemy równania stronami.
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
Podstawiamy otrzymaną wartość do wybranego równania z układu równań i obliczamy drugą niewiadomą.

"Zobaczmy to od razu na przykładzie"

Przykład 1. Rozwiąż podany układ równań metodą przeciwnych współczynników.

a)

Widzimy, że przy żadnej z niewiadomych nie mamy przeciwnych współczynników, natomiast możemy zauważyć, że jeśli np. drugie równanie pomnożymy przez 4, to wtedy przy x- ie będzie stała liczba -4, czyli liczba przeciwna do czwórki, krtóra stoi przy x-ie w pierwszym równaniu.

Teraz dodajemy równania stronami. Zauważmy, że 4x dodać minus 4x, to inaczej 4x odjąć 4x, czyli 0. Dalej mamy 2y dodać 4y, czyli 6y to się równa -10 dodać 4, czyli -6.

Dzieląc otrzymane równanie przez 6 otrzymujemy x-a równego minus 1.

Wybieramy teraz dowolne równanie z układu równań. Wybierzmy takie, które wydaje nam się najprostsze.

Weźmy np. równanie -x+y=1. Wstawiamy teraz w miejsce y liczbę -1 i wyznaczamy x.

b)

Rozpoczniemy najpierw od uporządkowania tego układu równań w taki sposób, aby x był pod x-em, y pod y-kiem, a liczba pod liczbą. Wtedy będzie nam łatwiej rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynników.

Dodajemy równania stronami

układ nieoznaczony

Rozwiązaniem tego układu jest nieskończenie wiele par liczb postaci:

c)

Dodajemy równania stronami

układ sprzeczny

Przyjrzymy się teraz kilku zadaniom typu maturalnego, w których warto rozwiązać podane układy równań właśnie metodą przeciwnych współczynników.

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań

A. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
D. nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie

Dodajemy równania stronami

Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

Zadanie 2. Dany jest układ równań .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Podany wyżej układ równań spełnia para liczb

A. B. C. D.

Rozwiążemy układ równań przećwiczoną przed chwilą metodą.

Rozwiązanie

Widzimy, że przy x-ach mamy liczby różnice się znakiem, czyli od razu nasuwa nam się metoda przeciwnych współczynników.

dodajemy równania stronami

Wyznaczamy y z otrzymanego równania. Łatwo można zauważyć, że y to czwórka.

Musimy jeszcze znaleźć x-a. Bierzemy jedno z równań i wstawiamy 4 w miejsce. Możemy zapisać to teraz w postaci układu równań, natomiast nie jest to konieczne i możemy zająć się na razie samym tym równaniem.

Na końcu zapiszmy jeszcze odpowiedź. x to - 3 pierwiastki z dwóch, a y to 4.

Zauważmy, że jest to odpowiedź A.

Zadanie 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

A. których iloczyn jest liczbą ujemną.
B. których iloczyn jest zerem.
C. których iloczyn jest liczbą dodatnią, a suma jest dodatnia.
D. iloczyn jest liczbą dodatnią, a suma jest ujemna.

Rozwiązanie

dodajemy równania stronami