TEORIA: 

(1)

Definicja:

 Równanie z niewiadomą x - dwa wyrażenia połączone znakiem równości, z których co najmniej jedno zawiera literę $x$

(2)

Definicja:

Dziedzina równania - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia występujące w równaniu mają sens matematyczny.

(3)

Fakty pomocne w wyznaczaniu dziedziny: (to w ramce pode mną podczas poniższego przykładu)

• Nie dzielimy przez zero, czyli mianownik ułamka zawsze musi być różny od zera
• Pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być zawsze liczba większa bądź równa zero

(4)

Przykład 1.

Wyznacz dziedzinę poniższych równań: 

a) $x+5=2\left(x-3\right)$

b) $\frac{7}{a+2}=5$

c)  $\sqrt{a+5}=10a-3$

---

Rozw. a) $x+5=2\left(x-3\right)$

(5)

$D=\mathbb{R}$

Rozw. b) $\frac{7}{a+2}=5$ 

(6)

Zakładamy, że $a+2\ne 0$

$a\ne -2$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}$

Rozw. c)

(7)

$\sqrt{a+5}=10a-3$

Zakładamy, że 

$a+5\ge 0$

Czyli

$a\ge -5$

$D=[-5,\infty )$

---

(8)

Definicja:

Liczba jest rozwiązaniem równania z niewiadomą $x,$ gdy po podstawieniu tej liczby w miejsce $x$ do równania otrzymujemy równość prawdziwą.

(9)

Przykład 2.

Sprawdź, które z liczb $-2,0,1$ są rozwiązaniami równania

$x^2+2x=x+2$

(tutaj podstawiane liczby do stron równania wyróżnić kolorem)

(10)

Sprawdzamy, czy liczba $-2$ jest rozwiązaniem równania:

$L=(-2{)}^2+2\cdot \left(-2\right)=4-4=0$

(11)

$P=-2+2=0$

(12)

$L=P,$ więc liczba $-2$ jest rozwiązaniem równania

(13)

Sprawdzamy, czy liczba $0$ jest rozwiązaniem równania.

$L=0^2+2\cdot 0=0$

(14)

$P=0+2=2$

(15)

$L\ne P,$ więc liczba $0$ nie jest rozwiązaniem równania.

(16)

Sprawdzamy, czy liczba $1$ jest rozwiązaniem równania.

$L=1^2+2\cdot 1=1+2=3$

(17)

$P=1+2=3$

(18)

$L=P,$ więc liczba $1$ jest rozwiązaniem równania.

---

(19)

Definicja:

Rozwiązać równanie z jedną niewiadomą to znaczy znaleźć zbiór wszystkich liczb, które spełniają dane równanie lub wykazać, że to równanie nie ma rozwiązań.

(20)

Definicja:

Równanie sprzeczne - równanie, którego nie spełnia żadna liczba z dziedziny tego równania.

(21)

Równanie tożsamościowe - równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę z dziedziny tego równania.

(22)

Przykład 3.

Rozwiąż równania.

a) $x^2=-9$

b) $x^2=9$

c) $4\left(x-3\right)+2=3\left(x-3\right)+x-1$

chciałbym aby równania były obok siebie w jednym wierszu i rozwiązania pojawiały się pod tymi równaniami.

a) 

$x^2=-9$ 

(23)

$D=\mathbb{R}$

równanie sprzeczne

b)

$x^2=9$ 

(24)

$D=\mathbb{R}$

$\begin{array}{ccc}x=3& \vee & x=-3\end{array}$

c)

$4\left(x-3\right)+2=3\left(x-3\right)+x-1$ 

(25)

$D=\mathbb{R}$

$4x-12+2=3x-9+x-1$ 

(26)

$4x-10=4x-10$

równanie tożsamościowe