Zadanie 1. Dany jest wielomian $W\left(x\right)=x^4-4x^3-4x^2-4x-5$ określony dla $x\in \mathbb{R}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma kwadratów wszystkich pierwiastków całkowitych wielomianu $W$ wynosi:

A.  $16$            B.  $52$            C.  $26$           D.  $4$

Rozwiązanie

Liczby, które mogą być pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu, to: $-1,1,-5,5$.

• $W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-4\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)-5=1+4-4+4-5=0$
• $W\left(1\right)=1^4-4\cdot 1^3-4\cdot 1^2-4\cdot 1-5=1-4-4-4-5=-16\ne 0$
• $W\left(-5\right)={\left(-5\right)}^4-4\cdot {\left(-5\right)}^3-4\cdot {\left(-5\right)}^2-4\cdot \left(-5\right)-5=625+500-100+20-5=1040\ne 0$
• $W\left(5\right)=5^4-4\cdot 5^3-4\cdot 5^2-4\cdot 5-5=625-500-100-20-5=0$

Liczby $-1$ oraz $5$ są jedynymi pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu.

Wyznaczmy sumę kwadratów tych liczb:

${\left(-1\right)}^2+5^2=1+25=26$