Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Jeżeli wielomian $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ (gdzie $a_n\ne 0$ i $a_0\ne 0$)
o współczynnikach całkowitych ma całkowity pierwiastek, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$.

Przykład 1. Wyznacz pierwiastki całkowite wielomianu $W\left(x\right)=x^3+3x^2-9x+5$.

Dzielnikami wyrazu wolnego $a_0=5$ są liczby: $-5,-1,1,5$. Wyznaczmy wartość tego wielomianu dla tych liczb, aby sprawdzić, czy ten wielomian ma całkowite pierwiastki:

• $W\left(-5\right)={\left(-5\right)}^3+3\cdot {\left(-5\right)}^2-9\cdot \left(-5\right)+5=-125+75+45+5=0$
• $W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-9\cdot \left(-1\right)+5=-1+3+9+5=16\ne 0$
• $W\left(1\right)=1^3+3\cdot 1^2-9\cdot 1+5=1+3-9+5=0$
• $W\left(5\right)=5^3+3\cdot 5^2-9\cdot 5+5=125+75-45+5=160\ne 0$

Skoro $W\left(-5\right)=0$ oraz $W\left(1\right)=0,$ to znaczy, że liczby $-5,1$ są całkowitymi pierwiastkami wielomianu $W$.