całość- Zadanie całość: Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Podczas tej lekcji:

dowiecie się, czym jest funkcja kwadratowa
poznacie postać ogólną wzoru tej funkcji
nauczycie się interpretować niektóre współczynniki, które występują w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej

Definicja

Funkcja kwadratowa jest to funkcja, którą można określić wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ dla $x \in R,$ gdzie $a, b$ i $c$ to ustalone liczby rzeczywiste, przy czym $a \neq = 0 .$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Składa się ona z wierzchołka i dwóch ramion.

Definicja

Wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej nazywamy wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ gdzie $a \neq = 0 .$

Twierdzenie

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ są:

skierowane do góry, gdy $a > 0$
skierowane do dołu, gdy $a < 0$


Ramiona paraboli są skierowane do góry	Ramiona paraboli są skierowane do dołu
$a > 0$	$a < 0$

Twierdzenie

Parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przecina oś $O y$ w punkcie o współrzędnych $(0, c) .$

Przykład 1. Uzupełnij tabelę, wpisując współczynniki $a, b$ i $c$ występujące w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c .$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5$	$a =$	$b =$	$c =$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$	$a =$	$b =$	$c =$
$f (x) = - x^{2} + 8 x$	$a =$	$b =$	$c =$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5$	$a = 1$	$b = 2$	$c = - 5$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 4$	$a =$	$b =$	$c =$
$f (x) = - x^{2} - 8 x$	$a =$	$b =$	$c =$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5$	$a = 1$	$b = 2$	$c = - 5$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$	$a = \frac{1}{3}$	$b = 0$	$c = - 4$
$f (x) = - x^{2} + 8 x$	$a =$	$b =$	$c =$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5$	$a = 1$	$b = 2$	$c = - 5$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$	$a = \frac{1}{3}$	$b = 0$	$c = - 4$
$f (x) = - x^{2} + 8 x$	$a = - 1$	$b = 8$	$c = 0$

Przykład 2.

1) Parabola będąca wykresem funkcji $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4$ ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ $a = - \frac{1}{2} < 0 .$

2) Parabola będąca wykresem funkcji $f (x) = x^{2} - 7 x + 2$ ma ramiona skierowane do góry, ponieważ $a = 1 > 0 .$

Przykład 3.

1) Parabola będąca wykresem funkcji $f (x) = - x^{2} + 4 x - 5$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 5),$ ponieważ $c = - 5 .$

2) Parabola będąca wykresem funkcji $f (x) = 6 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4}$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, \frac{1}{4}),$ ponieważ $c = \frac{1}{4} .$

3) Parabola będąca wykresem funkcji $f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} + 8 x$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, 0),$ ponieważ $c = 0 .$

Zadanie 1. Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4 .$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji $f$ przedstawiono na rysunku

Wykres funkcji $f$ przecina oś $O y$ układu współrzędnych w punkcie $(0, - 3) .$	P	F
Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy $7 .$ Wykres funkcji $f$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, 7) .$

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

$f (- 1) = 8$

$8 = a \cdot (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) + 7$

$8 = a + 3 + 7$

$8 = a + 10 ∣ - 10$

$- 2 = a$

$a = - 2 < 0$

Ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Zdanie jest prawdziwe.

Zadanie 4. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f .$ Punkt przecięcia wykresu z osią $O y$ układu współrzędnych ma współrzędne całkowite.