Przekształcanie wzorów

Chcemy wyznaczyć określoną zmienną (literę) z podanego wzoru. Aby przekształcać równania, będziemy postępować analogicznie jak w przypadku równań.

Zadania maturalne

Zadanie 1. Wartość siły dośrodkowej $F$ w ruchu po okręgu o promieniu $r$ ciała o masie $m$ poruszającego się z prędkością $v$ możemy obliczyć korzystając ze wzoru $F=\frac{m{v}^2}{r}$.

Wskaż równanie opisujące poprawnie wyznaczoną prędkość $v$ z powyższego wzoru. 

A. $v=\frac{Fr}{2m}$                    B. $v=\sqrt{\frac{Fr}{m}}$                   C. $v=\frac{Fr-m}{2}$                    D. $v=\sqrt{\frac{m}{FR}}$

Rozwiązanie

$F=\frac{m{v}^2}{r}\text{|}\cdot r$ 

Początkowo mnożymy przez r, aby pozbyć się mianownika.

$Fr=m{v}^2\text{|}:m,m\ne 0$

Dzielimy teraz obie strony równania przez m. Oczywiście przyjmujemy, że v jest liczbą różną od zera, ponieważ nie możemy dzielić przez zero.

$\frac{Fr}{m}=v^2$

Zauważmy, że przy v przeszkadza nam jeszcze potęga druga. Musimy więc wykonać działanie odwrotne do potęgowania, czyli pierwiastkowanie. Zauważmy dodatkowo, że prędkość jest liczbą nieujemną, więc pierwiastek z v do potęgi drugiej to po prostu v. Dostajemy więc, że v równa się pierwiastkowi z Fr przez m.

$v\ge 0$

$v=\sqrt{\frac{Fr}{m}}$

Odp. B

---

Zadanie 2. Dany jest wzór $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

Wskaż równanie opisujące wielkość $y$ poprawnie wyznaczoną z podanego wzoru. 

A. $y=$                    B. $y=$                   C. $y=$                    D. $y=\frac{xz}{z-x}$

Rozwiązanie

$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\text{|}\cdot xyz$ 

Mnożymy obie strony równości przez xyz.

$\frac{xyz}{x}=\frac{xyz}{y}+\frac{xyz}{z}$

$\frac{\cancel{x}yz}{\cancel{x}}=\frac{x\cancel{y}z}{\cancel{y}}+\frac{xy\cancel{z}}{\cancel{z}}$

$yz=xz+xy\text{|}-xy$

$yz-xy=xz$

Po lewej stronie wyłączymy teraz przed nawias y, ponieważ tę wielkość chcemy wyznaczyć ostatecznie ze wzoru.

$y\left(z-x\right)=xz\text{|}:(z-x)$

Dzielimy teraz obustronnie przez z odjąć x i otrzymujemy

$y=\frac{xz}{z-x}$

y równa si xz przez z odjąć x, co daje nam odpowiedź D.

Odp. D

---

Zadanie 3. Wskaż dwa poprawne dokończenia poniższego zdania spośród oznaczonych literami A-F.

Jeśli $x=\frac{z}{y+z}$, to

A. $y=\frac{1}{x}$                                B. $y=\frac{z+xz}{x}$                         C. $z=\frac{xy}{1-x}$                 

D. $z=xy$                             E. $y=\frac{z}{x}-z$                             F. $z=\frac{xy+x}{1-x}$               

Rozwiązanie

$x=\frac{z}{y+z}\text{|}\cdot (y+z)$

Standardowo rozpoczynamy od pozbycia się mianownika., czyli mnożymy obustronnie równanie przez wyrażenie y dodać z. Następnie mnożymy x-a z każdym wyrazem sumy i dostajemy xy dodać xz równa się z. Rozpoczniemy od wyznaczenia y-a z tego wzoru. W tym celu chcemy po jednej stronie równania mieć wyrazy, w których występuje y, natomiast po drugiej stronie chcemy mieć wyrazy, w których nie ma y-ka. Przenosimy więc xz działaniem odwrotnym do dodawania, czyli odejmujemy xz. przy y-u przeszkadza nam jeszcze x, który jest pomnożony z y-kiem, więc dzielimy równanie obustronnie przez x. Dostajemy z tego y równa się z odjąć xz przez x. Możemy teraz rozdzielić to na dwa ułamki i dostajemy y równa się z przez x odjąć xz przez x, czyli z przez x odjąć z.

Przechodzimy teraz do wyznaczenia z-ta z tego wzoru.

$x\left(y+z_{}\right)=z$

Wyznaczymy $y$:

$xy+xz=z\text{|}-xz$

$xy=z-xz\text{|}:x,x\ne 0$

$y=\frac{z-xz}{x}$

$y=\frac{z}{x}-\frac{xz}{x}=\frac{z}{x}-z$

Wyznaczymy $z$:

$xy+xz=z\text{|}-xz$

$xy=z-xz$

$z\left(1-x\right)=xy\text{|}:(1-x),1-x\ne 0$

$z=\frac{xy}{1-x}$

Odp. C, E