Zadanie x. Oblicz, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $5$ występuje dokładnie dwa razy. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Przypadek 1. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry tysięcy i jedności, czyli $\boxed{5}\boxed{}\boxed{}\boxed{5}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{1}}1\cdot 9\cdot 9\cdot 1=81$  

Przypadek 2. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry setek i jedności, czyli $\boxed{}\boxed{5}\boxed{}\boxed{5}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{8}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{1}}8\cdot 1\cdot 9\cdot 1=72$

Przypadek 3. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry dziesiątek i jedności, czyli $\boxed{}\boxed{}\boxed{5}\boxed{5}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{8}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{1}}8\cdot 9\cdot 1\cdot 1=72$

Przypadek 4. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry tysięcy i setek, czyli $\boxed{5}\boxed{5}\boxed{}\boxed{}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{4}}1\cdot 1\cdot 9\cdot 4=36$

Przypadek 5. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry tysięcy i dziesiątek, czyli $\boxed{5}\boxed{}\boxed{5}\boxed{}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{4}}1\cdot 9\cdot 1\cdot 4=36$

Przypadek 6. Cyfra $5$ znajduje się w miejscu cyfry setek i dziesiątek, czyli $\boxed{}\boxed{5}\boxed{5}\boxed{}$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{8}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{1}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{4}}8\cdot 1\cdot 1\cdot 4=32$

Korzystając z reguły dodawania mamy:

$81+72+72+36+36+32=329$

Odp.: Jest $329$ takich liczb.