Reguła dodawania

Jeśli zbiory $A$ i $B$ są rozłączne, to liczba elementów zbioru $A\cup B$ jest równa sumie liczby elementów zbioru $A$ i liczby elementów zbioru $B$.

 

(Przy ustalaniu liczby możliwości, czasami możemy rozważyć kilka rozłącznych przypadków, następnie wyznaczyć ile jest możliwości w każdym z nich, a na koniec dodać otrzymane wyniki. Taki sposób zliczania nazywamy regułą dodawania.)

 

Przykład 1. Spośród wszystkich liczb naturalnych od $1$ do $10$ wybieramy kolejno dwie różne liczby. Na ile sposobów można je wybrać, aby ich suma była liczbą parzystą?

Rozwiązanie

Przypadek 1. Obie wylosowane liczby są parzyste.

$\underset{\begin{array}{c}\text{I}\\ \text{liczba}\end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{II}\\ \text{liczba}\end{array}}{\underline{4}}5\cdot 4=20$

Przypadek 1. Obie wylosowane liczby są nieparzyste.

$\underset{\begin{array}{c}\text{I}\\ \text{liczba}\end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{II}\\ \text{liczba}\end{array}}{\underline{4}}5\cdot 4=20$

Łącznie wszystkich par liczb dających sumę parzystą jest:

$20+20=40$

Odp.: Wszystkich par takich liczb dających sumę parzystą jest $40$.

 

 

Zadanie 2. Piotr ma w szafie $5$ koszulek (białą, czarną, szarą, niebieską i czerwoną), $3$ pary spodni (czarne, szare i niebieskie) i $2$ pary butów (czarne i białe). Spośród tych ubrań wybiera zestaw, czyli jedną koszulkę, jedną parę spodni i jedną parę butów. 

Zadanie 2.1. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Liczba wszystkich zestawów, jakie może wybrać Piotr, jest równa $\stackrel{30}{{}_{...................}}$.

Rozwiązanie

$\underset{\begin{array}{c}\text{koszulka}\\ \end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{spodnie}\\ \end{array}}{\underline{3}}\underset{\begin{array}{c}\text{buty}\\ \end{array}}{\underline{2}}$

$5\cdot 3\cdot 2=30$

Zadanie 2.2. Oblicz, na ile sposobów Piotr może wybrać zestaw, w którym dokładnie jeden element jest czarny. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Przeanalizujmy takie zestawy, gdzie dokładnie jeden element jest koloru czarnego: (Zestaw, gdzie jeden element jest czarny to taki, z czarną koszulką, albo z czarnymi spodniami, albo z czarnymi butami. Jeśli mamy np. czarną koszulkę, to pozostałe elementy muszą być już innego koloru.)

Koszulka: kolor czarny
Spodnie: kolor szary i niebieski
Buty: kolor biały
$1\cdot 2\cdot 1=2$

Koszulka: kolor biały, szary, niebieski i czerwony
Spodnie: kolor czarny
Buty: kolor biały
$4\cdot 1\cdot 1=4$

Koszulka: kolor biały, szary, niebieski i czerwony
Spodnie: kolor szary i niebieski
Buty: kolor czarny
$4\cdot 2\cdot 1=8$

$2+4+8=14$

Odp.: Liczba zestawów, gdzie dokładnie jeden elementy jest czarny jest równa $14$.

 

---

 

 

Za