Twierdzenie

Punkt $S=\left(x_S,y_S\right)$ jest środkiem odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$. Wtedy:
$x_S=\frac{x_A+x_B}{2},y_S=\frac{y_A+y_B}{2}$

rysunek "środek"

Przykład 1. Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$, jeśli $A=\left(2,8\right)$, $B=\left(-10,3\right)$.

$S=\left(\frac{2-10}{2},\frac{8+3}{2}\right)=\left(-\frac{8}{2},\frac{11}{2}\right)=\left(-4,5\frac{1}{2}\right)$

Przykład 2. Punkt $S=\left(-31,14\right)$ jest środkiem odcinka $AB$. Wyznacz współrzędne punktu $A$, jeśli $B=\left(11,-6\right)$.

Niech $A=\left(x,y\right)$

$-31=\frac{x+11}{2}|\cdot 2$                                  $14=\frac{y-6}{2}|\cdot 2$

$-62=x+11|-11$                               $28=y-6|+6$

$x=73$                                                                  $y=34$

$A=\left(73,34\right)$

---

Zadanie 1. Punkt $S=\left(-3,a\right)$ jest środkiem odcinka o końcach $A=\left(5,2\right)$ i $B=\left(b,-12\right)$.

Dokończa zdanie wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę całkowitą.

Wartość wyrażenia $a+b$ wynosi .................. .

Rozwiązanie

$\frac{5+b}{2}=-3|\cdot 2$                                               $\frac{2-12}{2}=a$

$5+b=-6|-5$                                             $-\frac{10}{2}=a$      

$b=-11$                                                                     $a=-5$

Obliczmy teraz, ile wynosi $a+b$:

$a+b=-5-11=-16$

Wartość wyrażenia $a+b$ wynosi $\stackrel{-16}{{}_{...................}}$ .

---

Zadanie 2. Punkt $S=\left(3,2\right)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=\left(-1,7\right)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $B$ ma współrzędne 

A. $A=\left(1,\frac{9}{2}\right)$                B. $B=\left(7,-3\right)$                C. $C=\left(-5,12\right)$                 D. $D=\left(5,11\right)$

Rozwiązanie

$B=\left(x,y\right)$ 

$3=\frac{-1+x}{2}|\cdot 2$                                               $2=\frac{7+y}{2}|\cdot 2$

$6=-1+x|+1$                                             $4=7+x|-7$      

$x=7$                                                                     $x=-3$

Otrzymujemy: $B=\left(7,-3\right)$.

---

Zadanie 3. Dane są punkty $P=\left(-12,9\right)$ i $Q=\left(-6,1\right)$. Punkt $R$ jest środkiem odcinka $PQ$. Obrazem punktu $R$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt $R^{\prime }$. 

Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź A, B lub C i poprawne uzasadnienie spośród 1,2 albo 3.

Współrzędne punktu $R^{\prime }$ to

A.	$\left(9,5\right)$,	ponieważ jest to punkt symetryczny	1.	do punktu $\left(-9,-5\right)$ względem punktu $\left(0,0\right)$.
B.	$\left(3,-5\right)$,		2.	do punktu $\left(-9,5\right)$ względem punktu $\left(0,0\right)$.
C.	$\left(9,-5\right)$,		3.	do punktu $\left(-3,5\right)$ względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

$R=\left(\frac{-12+\left(-6\right)}{2},\frac{9+1}{2}\right)=\left(\frac{-18}{2},\frac{10}{2}\right)=\left(-9,5\right)$

Punkt $R^{\prime }$ jest obrazem punktu $R$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.

$R^{\prime }=\left(9,-5\right)$

Zaznaczamy odpowiedź C i uzasadnienie numer 2.

---