teoria

rys.1.1

1.2 i 1.3

---

 

 

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trójkąta $ABC$, przedstawionego na rysunku
po prawej stronie, jest równy  rys.2.1-2.3

A. $\left(2+\sqrt{2}\right)x$                               
B. $\left(3+\sqrt{2}\right)x$                                
C. $\left(3+\sqrt{3}\right)x$                                
D. $\left(3+2\sqrt{3}\right)x$   

Rozwiązanie

Skoro $\left|AC\right|=2x$, to:

$\left|AB\right|=x$ 

$\left|BC\right|=x\sqrt{3}$

$Ob=x+2x+x\sqrt{3}=3x+x\sqrt{3}=x\left(3+\sqrt{3}\right)$

---

Zadanie 2. Na rysunku obok przedstawiono pewien trójkąt prostokątny $ABC$ o jednej przyprostokątnej długości $27$.

rys.3.1-3.3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.   

Pole trójkąta $ABC$ jest równe

A. $\frac{729\sqrt{3}}{2}$                               B. $\frac{54\sqrt{3}}{2}$                                C. $\frac{729}{4}$                                D. $\frac{81\sqrt{3}}{2}$    

Rozwiązanie

Niech $\left|BC\right|=a$. Wtedy $\left|CA\right|=a\sqrt{3}$.

$a\sqrt{3}=27$

$a=\frac{27}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}$

$P=\frac{27\cdot 9\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}$

---

 Zadanie 3. Dane są: trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$ i kąt między ramionami ma miarę $45^{\circ }$ oraz kwadrat $PQRS$o polu równym $2$. Wierzchołki $Q$ i $R$ kwadratu leżą na ramieniu $BC$ trójkąta , wierzchołek $S$ leży na ramieniu $AC$, natomiast wierzchołek $P$ leży na podstawie $AB$ danego trójkąta (zobacz rysunek).

rys.4.0-4.5

 

 

 

 

 

 

Uzupełnij zdania. Wpisz w wykropkowane miejsca odpowiednie litery spośród A-F tak, aby zdanie było prawdziwe.

Ramię trójkąta $ABC$ ma długość ……….......... . Pole trójkąta $PBQ$ jest równe ……….............. .

A. $4-2\sqrt{2}$                                               B. $2\sqrt{2}-2$                                            C. $4\sqrt{2}$                 
D. $2\sqrt{2}$                                               E. $4\sqrt{2}-4$                                            F. $2+2\sqrt{2}$                 

Rozwiązanie

$\left|PQ\right|=\left|QR\right|=\left|RS\right|=\left|SP\right|=2$

$\left|CR\right|=2$

$\left|AS\right|=2$

$\left|\sphericalangle CSR\right|=45^{\circ }$

$\left|CS\right|=2\sqrt{2}$

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=2+2\sqrt{2}$

$\left|QB\right|=\left|BC\right|-\left|CR\right|-\left|QR\right|$

$\left|QB\right|=2+2\sqrt{2}-4=2\sqrt{2}-2$

$P_{△PBQ}=\frac{2\cdot \left(2\sqrt{2}-2\right)}{2}=2\sqrt{2}-2$

---

Zadanie 4. Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, które mają długości odpowiednio $x$ i $y$ (przy czym $x>y$). Miara kąta ostrego tego trapezu wynosi $30^{\circ }$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trapezu jest równa $\frac{x-y}{2}\sqrt{3}$.	P	F
Ramię tego trapezu ma długość $\frac{x-y}{3}\sqrt{3}$.	P	F

Rozwiązanie

rys.5.1-5.6

Zdanie pierwsze

$\left|FB\right|=\frac{x-y}{2}$               

Jeśli $\left|CF\right|=a$, to $\left|FB\right|=a\sqrt{3}$, $\left|BC\right|=2a$.

$a\sqrt{3}=\frac{x-y}{2}$                                             

$a=\frac{x-y}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\left(x-y\right)\sqrt{3}}{6}=\frac{x-y}{6}\sqrt{3}$                                                                     

Zdanie jest fałszywe.       

Zdanie drugie

$2a=2\cdot \frac{x-y}{6}\sqrt{3}=\frac{x-y}{3}\sqrt{3}$                               

Zdanie jest prawdziwe.