Przypomnijmy, że   pole powierzchni bocznej Pb stożka  wyraża się wzorem:   $P_b=\pi rl$   gdzie r jest promieniem podstawy stożka, l - długością tworzącej. pole powierzchni bocznej Pb walca określa wzór:    $P_b=2\pi r\cdot h$     objętość walca wyraża się wzorem:    $V=\pi r^2\cdot h$   gdzie r jest promieniem podstawy, h - wysokością walca

---

Z treści zadania wiemy, że rozważamy romb, którego przekątne mają długość  $12\sqrt{5}$  cm i    $6\sqrt{5}$   cm.

Wyznaczamy długość boku tego rombu.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Przypomnijmy, że przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym. Z twierdzenia Pitagorasa np. w trójkącie ABO mamy:

${\left(3\sqrt{5}\right)}^2+{\left(6\sqrt{5}\right)}^2=a^2$

$45+180=a^2$  

$a^2=225$  

Stąd

$a=15\text{cm}$  

---

a)

Wyznaczamy pole powierzchni bryły powstałej poprzez obrót rombu wokół krótszej przekątnej, czyli przekątnej BD. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że w wyniku obrotu powstały dwa identyczne stożki złączone ze sobą podstawami, w których

• promieniem podstawy jest połowa dłuższej przekątnej,  stąd    $r=6\sqrt{5}\text{cm}$   
• wysokością stożka jest połowa krótszej przekątnej,  stąd   $h=3\sqrt{5}\text{cm}$   
• tworzącą stożka jest bok rombu,  stąd   $l=15\text{cm}$  

Pole powierzchni otrzymanej bryły będzie równe podwojonemu polu powierzchni bocznej pojedynczego stożka. Zatem ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka otrzymujemy:

$P=2\cdot \pi \cdot r\cdot l=2\pi \cdot 6\sqrt{5}\cdot 15=\underline{\underline{180\pi \sqrt{5}{\text{cm}}^2}}$  

Otrzymana bryła składa się z dwóch identycznych stożków, zatem objętość bryły będzie równa podwojonej objętości stożka. Ze wzoru na objętość stożka mamy:

$V=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2\cdot h=\frac{2}{3}\pi \cdot {\left(6\sqrt{5}\right)}^2\cdot 3\sqrt{5}=\frac{2}{3}\pi \cdot 180\cdot 3\sqrt{5}=\underline{\underline{360\pi \sqrt{5}{\text{cm}}^3}}$  

---

b)

Obracamy romb wokół  jego boku. Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Otrzymana bryła składa się ze stożka i walca, z którego wycięto stożek (wycięty stożek jest zaznaczony na rysunku ciemniejszym kolorem). Obydwa stożki - doklejony do walca i wycięty z walca - mają takie same wymiary.

Powierzchnia całkowita otrzymanej bryły składa się z 

• powierzchni bocznej walca
• powierzchni bocznych dwóch stożków

Zauważmy, że bok rombu jest jednocześnie wysokością walca i tworzącą każdego ze stożków.

Obliczamy promień r podstawy walca i stożków. Zauważmy, że r jest wysokością rombu.

Korzystamy z długości przekątnych podanych w treści zadania i otrzymujemy, że pole rombu jest równe

$P=\frac{6\sqrt{5}\cdot 12\sqrt{5}}{2}=\frac{72\cdot 5}{2}=36\cdot 5=180{\text{cm}}^2$  

Z drugiej strony możemy pole rombu zapisać jako iloczyn długości boku i wysokości. Zatem

$P=a\cdot r=15r$  

Porównujemy pola i otrzymujemy:

$15r=180\mid :15$  

$r=\frac{210}{15}=12\text{cm}$  

 

Wyznaczamy pole P_c powierzchni całkowitej bryły:

$P_c=\underset{\text{pola boczne stoz˙koˊw}}{\underbrace{2\pi \cdot r\cdot a}}+\underset{\text{pole boczne walca}}{\underbrace{2\pi \cdot r\cdot a}}=4\pi r\cdot a=4\pi \cdot 12\cdot 15=\underline{\underline{720\pi {\text{cm}}^2}}$  

 

Wyznaczamy objętość V powstałej bryły. 

Zauważmy, że jeśli doklejony stożek oderwiemy od walca i włożymy w miejsce, gdzie drugi stożek był z walca wycięty, to otrzymamy cały walec. Zatem objętość otrzymanej bryły jest równa objętości walca o promieniu r i wysokości a.

Ze wzoru na objętość walca mamy: 

$V=\pi r^2\cdot a=\pi \cdot {12}^2\cdot 15=144\pi \cdot 15=\underline{\underline{2160\pi {\text{cm}}^3}}$    

---

Uwaga!!! Odpowiedź na końcu podręcznika do podpunktu b) jest błędna (w odpowiedziach zostało pomylone pole z objętością).