a) Zauważmy, że

$18\alpha +{90}^{\circ }={360}^{\circ }\mid :18$

$\alpha +5^{\circ }={20}^{\circ }\mid -5^{\circ }$

$\alpha ={15}^{\circ }$

Zatem łuki odpowiadające poszczególnym literom stanowią następujące części obwodu koła:

$\text{F}:\frac{90}{360}=\frac{6}{24}$

$\text{O}:\frac{15}{360}=\frac{1}{24}$     

$\text{R}:\frac{2\cdot {\cancel{15}}^1}{{\cancel{360}}_{24}}=\frac{2}{24}$   

$\text{T}:\frac{3\cdot 18}{360}=\frac{3}{24}$   

$\text{U}:\frac{4\cdot 18}{360}=\frac{4}{24}$   

$\text{N}:\frac{4\cdot 18}{360}=\frac{4}{24}$   

$\text{A}:\frac{4\cdot 18}{360}=\frac{4}{24}$   

Prawdopodobieństwo tego, że dana litera zostanie wylosowana w wyniku kręcenia kołem, jest więc równe odpowiednio

$\text{F}:\frac{6}{24}$

$\text{O}:\frac{1}{24}$     

$\text{R}:\frac{2}{24}$   

$\text{T}:\frac{3}{24}$   

$\text{U}:\frac{4}{24}$   

$\text{N}:\frac{4}{24}$   

$\text{A}:\frac{4}{24}$   

Zatem wartość oczekiwana wyniku tej gry jest następująca:

$E=\frac{6}{24}\cdot 20+\frac{1}{24}\cdot \left(-80\right)+\frac{2}{24}\cdot 100+\frac{3}{24}\cdot 30+\frac{4}{24}\cdot \left(-80\right)+\frac{4}{24}\cdot 50+\frac{4}{24}\cdot \left(-80\right)=$  

$=\frac{120-80+200+90-320+200-320}{24}=-\frac{110}{24}=-4\frac{14}{24}=\underline{\underline{-4\frac{7}{12}\approx -4,58}}$

Odp.: Wartość oczekiwana wyniku tej gry wynosi około -4,58 zł. 

---

b) Niech

x [zł] - wartość przegranej za  wykręcenie pola z samogłoską (taka, że gra jest sprawiedliwa), przy czym n>0 

Wówczas

$E=\frac{6}{24}\cdot 20+\frac{1}{24}\cdot \left(-x\right)+\frac{2}{24}\cdot 100+\frac{3}{24}\cdot 30+\frac{4}{24}\cdot \left(-x\right)+\frac{4}{24}\cdot 50+\frac{4}{24}\cdot \left(-x\right)=$  

$=\frac{120-x+200+90-4x+200-4x}{24}=\frac{610-9x}{24}=0$

Czyli

$\frac{610-9x}{24}=0$   

$610-9x=0$

$9x=610$

$x=\frac{610}{9}=\underline{\underline{67\frac{7}{9}\approx 67,78}}$    

Odp.: Wartość przegranej powinna wynieść około 67,78 zł.