Niech 

n - liczba dołożonych do urny kul czarnych (tak, aby gra była sprawiedliwa)

przy czym n∈ℕ.

Po dołożeniu n kul czarnych, w urnie będzie

• 8 kul białych
• 2+n kul czarnych

czyli razem 10+n kul.

Losujemy dwie kule (kolejno, bez zwracania).

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą drzewka:

Niech

A - wylosowano dwie kule białe
B - wylosowano dwie kule czarne
C - wylosowano kule różnych kolorów

Zatem

$P\left(A\right)=\frac{8}{10+n}\cdot \frac{7}{9+n}=\frac{56}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}$  

$P\left(B\right)=\frac{2+n}{10+n}\cdot \frac{1+n}{9+n}=\frac{2+3n+n^2}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}$  

$P\left(C\right)=\frac{8}{10+n}\cdot \frac{2+n}{9+n}+\frac{2+n}{10+n}\cdot \frac{8}{9+n}=2\cdot \frac{8\left(2+n\right)}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}=\frac{32+16n}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}$

Gra będzie sprawiedliwa, jeśli wartość oczekiwana wyniku tej gry będzie wynosić 0. 

Zasady osiągania zysku w tej grze są następujące:

• zaszło A  →  -9 zł
  
• zaszło B  →  +5 zł
• zaszło B  →  +1 zł

 Zatem

$E=\frac{56}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}\cdot \left(-9\right)+\frac{2+3n+n^2}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}\cdot 5+\frac{32+16n}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}\cdot 1=$

$=\frac{-504+10+15n+5n^2+32+16n}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}=\frac{5n^2+31n-462}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}=0$  

Czyli

$\frac{5n^2+31n-462}{\left(10+n\right)\left(9+n\right)}=0$   

$5n^2+31n-462=0$  

$\Delta ={31}^2-4\cdot 5\cdot \left(-462\right)=961+9240=10201$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{10201}=101$  

$n_1=\stackrel{<0}{\overbrace{\frac{-31-101}{2\cdot 5}}}\notin \mathbb{N}-\text{odrzucamy, bo zgodnie z załoz˙eniem}n\in \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-31+101}{2\cdot 5}=\frac{70}{10}=7\notin \mathbb{N}$  

n=7 spełnia założenia zadania, więc jest rozwiązaniem.

Odp.: Aby gra była sprawiedliwa, do urny należy dołożyć 7 kul czarnych.