Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry: białą i czarną.
Możemy przyjąć, że rzucamy kostką białą, a następnie czarną (kolejność nie ma znaczenia) i traktować to doświadczenie jako dwuetapowe (etap I: rzut kostką białą, etap II: rzut kostką czarną).

Niech

A - na białej kostce wypadło mniej oczek niż na czarnej
B - na białej kostce wypadło tyle samo oczek, ile na czarnej
C - na białej kostce wypadło więcej oczek niż na czarnej

Zasady osiągania zysku w tej grze w zależności od zajścia zdarzeń A, B, C są następujące:

• zaszło zdarzenie A  →  -5 zł
• zaszło zdarzenie B  →  +50 zł
• zaszło zdarzenie C  →  -20 zł    

a) Obie kostki są sześcienne. 

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą drzewka:

Wobec tego

$P\left(A\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{0}{6}=\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}+\frac{0}{6}\right)=$  

$=\frac{1}{6}\cdot \frac{15}{6}=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{12}$  

$P\left(B\right)=\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{0}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{15}{6}=\frac{5}{12}$  

$P\left(C\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=6\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$  

Zatem wartość oczekiwana wyniku tej gry jest równa

$E=\frac{5}{12}\cdot \left(-5\right)+\frac{2}{12}\cdot 50+\frac{5}{12}\cdot \left(-20\right)=-\frac{25}{12}+\frac{100}{12}-\frac{100}{12}=-\frac{25}{12}=-2\frac{1}{12}\approx -2,08$

Odp.: Wartość oczekiwana to około -2,08 zł.

---

b) Obie kostki są ośmiościenne. 

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą tabeli, w której wiersze wskazują na wynik rzutu kostką białą,
a kolumny - czarną.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$

Pola zaznaczone kolorem niebieskim odpowiadają zajściu zdarzenia A, zielonym - zdarzenia B, a różowym - zdarzenia C.

Wobec tego

$P\left(A\right)=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}$  

$P\left(B\right)=\frac{8}{64}=\frac{2}{16}$  

$P\left(C\right)=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}$  

Zatem wartość oczekiwana wyniku tej gry jest równa

$E=\frac{7}{16}\cdot \left(-5\right)+\frac{2}{16}\cdot 50+\frac{7}{16}\cdot \left(-20\right)=-\frac{35}{16}+\frac{100}{16}-\frac{140}{16}=-\frac{75}{16}\approx -4,69$

Odp.: Wartość oczekiwana to około -4,69 zł.

---

c) Biała kostka jest sześcienna, a czarna jest ośmiościenna. 

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą tabeli, w której wiersze wskazują na wynik rzutu kostką białą,
a kolumny - czarną.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$

Pola zaznaczone kolorem niebieskim odpowiadają zajściu zdarzenia A, zielonym - zdarzenia B, a różowym - zdarzenia C.

Wobec tego

$P\left(A\right)=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$  

$P\left(B\right)=\frac{6}{48}=\frac{2}{16}$  

$P\left(C\right)=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$  

Zatem wartość oczekiwana wyniku tej gry jest równa

$E=\frac{9}{16}\cdot \left(-5\right)+\frac{2}{16}\cdot 50+\frac{5}{16}\cdot \left(-20\right)=-\frac{45}{16}+\frac{100}{16}-\frac{100}{16}=-\frac{45}{16}\approx -2,81$

Odp.: Wartość oczekiwana to około -2,81 zł.

Uwaga: W odpowiedzi w zbiorze zadań zabrakło minusa.

---

d) Biała kostka jest ośmiościenna, a czarna jest sześcienna. 

Doświadczenie możemy zilustrować za pomocą tabeli, w której wiersze wskazują na wynik rzutu kostką białą,
a kolumny - czarną.

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$8$

Pola zaznaczone kolorem niebieskim odpowiadają zajściu zdarzenia A, zielonym - zdarzenia B, a różowym - zdarzenia C.

Wobec tego

$P\left(A\right)=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$  

$P\left(B\right)=\frac{6}{48}=\frac{2}{16}$  

$P\left(C\right)=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$  

Zatem wartość oczekiwana wyniku tej gry jest równa

$E=\frac{5}{16}\cdot \left(-5\right)+\frac{2}{16}\cdot 50+\frac{9}{16}\cdot \left(-20\right)=-\frac{25}{16}+\frac{100}{16}-\frac{180}{16}=-\frac{105}{16}\approx -6,56$

Odp.: Wartość oczekiwana to około -6,56 zł.